- {$ result[1] $}
- {$ result[2] $}
Тригонометрия – наука, изучающая свойства тригонометрических функций и их практическое применение. Наука берет начало в древности: с изучения свойств сторон прямоугольного треугольника.
История вопроса
Термин «тригонометрия» впервые встречается в работе немецкого математика Питискуса в далеком 1505 году. Сам термин обозначает «измерение треугольников», так как тригонометрические функции были выведены на основании соотношений катетов и гипотенузы для разных углов. И хотя различные свойства прямоугольного треугольника были известны еще в Древнем Вавилоне, расцвет геометрии пришелся на античные времена.
Интересно, но в Древней Греции рассматривали не сколько прямоугольный треугольник, катеты и гипотенузы, а окружность. Круг и прямая – идеальные геометрические фигуры по мнению античных математиков, поэтому построения производились при помощи циркуля и линейки. Соответственно, для измерения углов и их характеристик древнегреческие геометры использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, проведенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся хорду. Половина от этой хорды численно представляет собой синус половинного угла.
Позднее индийские учены пришли к выводу, что хорды – ни что иное, как соотношение катетов и гипотенуз для построенного на хорде и радиусе прямоугольного треугольника. Замена хорд значениями синусов позволила математикам использовать в вычислениях функции, связанные со свойствами катетов и гипотенузы. Такой ход считается одной из величайших математических хитростей Средневекового мира. Позднее эта «фишка» попала в руки арабских ученых, после чего тригонометрические функции вошли в мир европейской математики. В последствии, благодаря зависимости хорд и радиусов окружности, были выведены и доказаны не только синус, но и основные тригонометрические функции.
Основные функции
Все тригонометрические функции рассчитываются для определенного угла и представляют собой соотношение сторон. Катеты – это стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Катет и гипотенуза образуют произвольный угол, для которого образующий катет является прилежащим. Второй катет для этого угла называют противолежащим. Функция угла – это соотношение длин определенных сторон треугольника. Такое соотношение представляет собой дробь и выражается численно, например, 1/2. Таким образом, основные тригонометрические функции приобретают следующие формулы:
- Синус = противолежащий катет / гипотенуза;
- Косинус = прилежащий катет / гипотенуза;
- Тангенс = противолежащий катет / прилежащий катет;
- Котангенс = прилежащий катет / противолежащий катет.
Кроме того, существуют функции секанса (гипотенуза/противолежащий катет) и косеканса (гипотенуза/прилежащий катет), однако они не получили широкого распространения в прикладных науках.
Интересно, что косинус – основная тригонометрическая функция, однако этот термин появился гораздо позднее синуса. Допустим, что в прямоугольном треугольнике непрямой угол обозначен как a. Косинус или complementry sinus угла a – это дополнительный синус для угла (90 – a). Именно поэтому долгое время ученые не вводили дополнительную функцию, а просто пересчитывали угол. Из-за постоянной работы с углами известный ученый Клейн даже предложил переименовать тригонометрию в гониометрию или «измерение углов». Однако такое название не прижилось.
Применение тригонометрии
Невозможно представить область науки, которая обошлась бы без применения тригонометрических функций. Еще в Древнем мире астрономы использовали метод триангуляции для определения приблизительного расстояния до небесных тел. Сегодня этот метод улучшен и автоматизирован и используется во многих прикладных приложениях. Сами же функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса применяются для описания волновых, циклических или нарастающих процессов. Если перед ученым стоит задача описать банальное движение маятника, ускорение вала асинхронного двигателя или экономическое процветание государства, то ему на помощь приходят тригонометрические функции.
Наша программа позволяет вычислить значения основных тригонометрических функций для любых углов с точностью до четырех знаков после запятой. Для определения численного значения выбранной в меню функции вам потребуется задать угол в градусах или радианах и сделать один клик мышью. Если вы хотите произвести обратную операцию и узнать угол по численному значению синуса или тангенса, то введите число от 0 до 1 в ячейку функции, после чего программа вернет величину соответствующего угла.
Пример из жизни
Школьная задача
Благодаря тригонометрическим функциям мы можем без проблем определять длины сторон треугольника. Пусть в школьной задаче задан прямоугольный треугольник, у которого известен угол А, равный 50 градусов. Один из катетов «а» имеет длину 15 см. Требуется найти длину гипотенузы. Это простая задача, которую легко решить при помощи теоремы синусов.
Известно, что стороны любого треугольника соотносятся как a / sinA = b / sinB = c / sinC. Мы знаем угол А и длину катета «а», а требуется найти длину гипотенузы с. Известно, что противолежащий гипотенузе угол С – это всегда прямой угол, а синус прямого угла всегда равен 1. Таким образом, мы получаем соотношение:
a / sinA = c / 1 или c = a / sinA
Нам осталось подсчитать синус угла величиной 50 градусов и выразить гипотенузу. Для этого выберите в меню калькулятора функцию синуса и выберите градусы для ячейки угла. В итоге мы получим:
с = 15 / sin50 = 15/0,766 = 15,55
Заключение
Тригонометрия – раздел математики, важность которого сложно переоценить. Функции синуса и тангенса используются как в физике и механике, так и в биологии, экономике, геодезии и криптографии. Наши онлайн-калькуляторы пригодятся вам при расчете любых тригонометрических функций.
