- {$ result[1] $}
- {$ result[2] $}
Котангенс — тригонометрическая функция, численно равная соотношению длин прилежащего и противолежащего катетов. Как и все тригонометрические функции, котангенс постоянно используется в математическом аппарате современных приложений и устройств.
Немного истории
Как самостоятельная наука, тригонометрия начинается в Древнем Вавилоне: 4 тысячи лет назад люди начали впервые задаваться вопросом о соотношении сторон прямоугольного треугольника. Уже древние вавилоняне смогли сформулировать тезис, который связывал катеты и гипотенузы соотношением a2 + b2 = c2, однако доказать эту теорему смогли только через 15 веков. Сегодня автор доказательства данного тезиса известен каждому человеку, а теорема Пифагора — самая известная научная формулировка, которую после самосского математика доказали более 400 раз.
Но вернемся к тригонометрическим функциям. Первая и основная функция — это синус. Он был изобретен раньше всех в Древней Греции. Античные ученые объясняли синус при помощи хорды окружности, на радиусах которой был построен прямоугольный треугольник. Современное определение синуса куда привычнее и понятнее: это дробь, в числителе которой стоит длина противолежащего катета, а в знаменателе — длина гипотенузы. Ранее, если требовалось рассчитать значение синуса с использованием прилежащего катета, то угол сдвигали на 90 градусов, поэтому как таковой функции косинуса не существовало. Да и в переводе косинус — это просто дополнительный синус.
Тангенс появился только через тысячу лет после изобретения синуса. Потребность в такой функции возникла при попытке решить задачу о длине тени, которую отбрасывала пальма, перпендикулярная к поверхности земли. Функция тангенса была изобретена восточным математиком Вафой, который составил особые таблицы значений тангенсов для различных углов. Увы, эти манускрипты были утеряны на Востоке, поэтому в Старом Свете тангенс был изобретен заново в 15 веке математиком Иоганном Региомонтаном. Котангенс появился еще позже как «тангенс дополнения», поэтому он по праву носит звание самой молодой основной тригонометрической функции.
Определение котангенса
Геометрически котангенс — это соотношение прилежащего катета к противолежащему. Тригонометрически — отношение косинуса к синусу выбранного угла. Функция котангенса всегда вычисляется для заданного угла и не зависит от длин сторон. Если изначально синусы и тангенсы определялись исключительно для прямоугольных треугольников, то с развитием математики функции стали использоваться для абсолютно любых треугольников.
Таким образом, если есть треугольник со сторонами A, B, и C, где C — гипотенуза или наибольшая сторона, то котангенсом угла BC будет ctgBC = B/A. Для угла AC его котангенс будет выражаться как ctgAC = A/B. Интересно, что тангенсы, соответствующие этим углам, будут просто перевернутыми, например, tgAC = B/A. Если нам неизвестны длины сторон, а только синус и косинус соответствующих углов, то котангенс легко вычислить геометрически по следующей формуле:
сtgA = cosA / sinA
благодаря простым формулам вы можете вычислить котангенс вручную, с использованием инженерного или онлайн-калькулятора.
Наша программа представляет собой сборку тригонометрических калькуляторов, при помощи которых легко вычислить значение функции или определить величину угла по заданному значению синуса или тангенса. Для расчетов требуется выбрать в меню онлайн-калькулятора функцию «котангенс» и задать величину угла. Если требуется определить арккотангенс, то следует задать значение котангенса в ячейку ctg(а).
Рассмотрим примеры
Определение величины угла
Решим простую задачу по геометрии. Задан треугольник со сторонами A = 3 см, B = 4 см, C = 5 см. Требуется вычислить величины углов. Эту задачу легко решить при помощи функции котангенса и арккотангенса. Для начала определим котангенс для угла AC, который равен ctgAC = A/B = 3/4 = 0,75. Введем это значение в ячейку ctg(а) и рассчитаем арккотангенс. Значение угла AB таким образом равно 53 градуса. Теперь рассчитаем котангенс угла ctgBC = B/A = 4/3 = 1,333. Арккотангенс этого значения равен 37 градусов. Остается вычислить последний угол, исходя из аксиомы, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Угол AB = 180 − 53 − 37 = 90 градусов.
Мы могли и не производить последнее действие по расчету угла АВ, так как треугольник со сторонами 3, 4, 5 — египетский прямоугольный треугольник, известный еще с античных времен.
Вычисление котангенса
В целом вычислять значения котангенсов при известном угле нет необходимости, так как значения любой тригонометрической функции для основных величин углов систематизированы в специальной таблице Брадиса. Однако существуют наиболее популярные в школьных задачах углы, которые учащимся рекомендуется выучить назубок. Рассчитаем при помощи онлайн-калькулятора эти фундаментальные значения:
- ctg30 = 1,7321 или sqrt(3);
- ctg45 = 1;
- ctg60 = 0,5774 или 1/sqrt(3);
- ctg90 = 0;
- ctg120 = -0,5774 или минус ctg60;
- ctg150 = -1,7321 или минус ctg30;
- ctg180 — не рассчитывается.
Возникает вопрос: почему котангенс 45 градусов равен 1? Все дело в том, что если в прямоугольном треугольнике один угол имеет величину в 45 градусов, то по аксиоме о сумме углов, второй угол будет также иметь величину 45 градусов. Следовательно, это равнобедренный треугольник, а его катеты равны. Отношение двух равных катетов всегда равно 1.
Заключение
Тригонометрия — сложный раздел математики, который практически не применяется в бытовых расчетах. В тоже время тригонометрия является математическим фундаментом высоких технологии, и современные специалисты просто обязаны разбираться в смысле и значениях тригонометрических функций. Наш простой калькулятор пригодится в основном школьникам и студентам при решении заданий по алгебре.
