Деление уравнения 2–5 степеней

Уравнение
  • * x{$ data.dividend.length - $index $} +
* x +
Результаты расчёта
{$ d|number $} {$ data.dividend_free $}
{$ result[2]|number:2 $} {$ m|number:2 $}
{$ result[2]|number:2 $} {$ z|number:2 $}
Частное деления:

Деление уравнения 2–5 степени на полином — это метод разложения многочлена на множители. Такое разложение необходимо для упрощения алгебраических выражений, решения уравнений 3-ей и выше степени, а также для разложения дробно-рациональных функций на простейшие дроби.

Теоретическая основа

В целом разложение полиномов на множители требуется для решения уравнений третьей степени и выше. Алгебраическая теория позволяет это сделать следующим способом. Основная теорема алгебры гласит, что любой полином n-ной степени имеет по крайней мере один действительный или комплексный корень. Мы можем легко найти этот корень, если полином является линейным или квадратным, однако если выражение имеет большую степень, то задача значительно усложняется.

В некоторых удачных случаях мы можем использовать формулы сокращенного умножения, однако такая удача — это скорее исключение, ведь данные формулы не применимы для многочленов выше третьей степени. В таких ситуациях нам на помощь приходит теорема Безу.

Теорема Безу гласит, что при делении полинома P(x) на двучлен Q(x) = x − b остаток от деления s = P(a). Простыми словами это означает, что при делении некоторого полинома на многочлен вида x − b, остаток от этого деления равен значению функции в точке b. Однако для разложения полинома на множители используется не сама теорема, а следствие из нее. Если P(x) делится на Q(x) без остатка, то число bявляется корнем выражения.

Если мы поделим полином на бином без остатка, то сможем разложить выражение на множители. Следовательно, для этого нам надо найти хотя бы один корень полинома b и разделить выражение на бином x − b. После этого мы получим произведение полиномов низшей степени. При желании операцию можно повторить и разложить полином на несколько многочленов, что значительно упростит поиск корней.

Таким образом, для разложения полинома на множители требуется найти один из корней b, выразить двучлен Q(x) = x − b и разделить многочлен на Q(x).

Поиск корня b

Мы можем предположить любое значение корня, однако на практике первым делом проверяют значения 1 и -1. Для этого нам помогут два простых правила:

  • если сумма коэффициентов полинома равна нулю, то один из корней равен 1;
  • если сумма коэффициентов при четных степенях икса равна сумме коэффициентов при нечетных, то один из корней полинома равен -1.

Давайте проверим на примере. Пусть есть многочлен вида:

3x4 + 2x3 − 8x2 + 2x + 1

Вычислим сумму коэффициентов: 3 + 2 − 8 + 2 + 1 = 0. Очевидно, что если вместо иксов подставить единицу, то мы получим аналогичное равенство.

Проверим второе правило. Возьмем полином вида:

3x4 + 4x3 + 2x2 + 2x + 1

Коэффициенты при четных степенях дают в сумме 3 + 2 + 1 = 6. Коэффициенты при нечетных: 4 + 2 = 6. Если вместо иксов подставить -1, то шестерки взаимно уничтожатся и превратятся в ноль. Очевидно, что -1 является корнем данного полинома. Обратите внимание, что в данном случае 1 – это все равно что 1x0, поэтому свободный член учитывается как коэффициент икса в четной степени.

Если же 1 и -1 не подходят, то используем теорему Виета, которая в данном случае звучит следующим образом: если корни многочлена являются целыми числами, то они одновременно являются и делителями его свободного члена. Это означает, что целочисленный корень полинома без остатка делит его свободный член, то есть коэффициент без икса.

Таким образом, для поиска целочисленного корня требуется разложить свободный член на множители и поочередно подставлять найденные значения вместо иксов. Если при подстановке коэффициента значение полинома станет равно нулю, то данное значение и есть корень уравнения. Рассмотрим следующий полином:

x4 + x3 − 11x2 − 5x + 30

Свободный член 30 имеет следующие делители: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Теперь постепенно подставляем данные числа вместо иксов. В итоге уравнение превращается в ноль при значениях 2, ±3 и 5, которые и являются корнями данного уравнения. Из теоремы Безу вытекает, что данный многочлен без остатка делится на выражения типа x − 2 или x + 3.

Деление многочлена на Q(x)

Деление многочлена на бином Q(x) проще всего осуществить в столбик. Рассмотрим схему деления в столбик на простом примере. Возьмем полином

2x3 − 3x2 + 5x − 14

и разделим его на бином x − 2.

Деление в столбик происходит в три этапа:

  • разделим самый первый элемент многочлена на старший член бинома, то есть 2x3 / x = 2x2, запишем 2x2 как первый член частного;
  • умножим результат на бином, то есть 2x2 × (x − 2) = 2x3 − 4x2;
  • вычтем полученное выражение из многочлена (2x3 − 3x2 + 5x − 14) − (2x3 − 4x2) = x2 + 5x − 14.

Теперь требуется повторить предыдущие пункты, но уже для полинома x2 + 5x − 14:

  • разделим x2 на x, в результате получим x как второй член частного;
  • умножим x на бином и получим x × (x − 2) = x2 − 2x;
  • вычислим разницу (x2 + 5x − 14) − (x2 − 2x) = 7x − 14.

Еще раз повторим этот круг, но для полинома 7x − 14:

  • разделим 7x на x, получим 7 как третий элемент частного;
  • умножим 7 на делитель, получим 7x − 14;
  • вычислим разницу (7x − 14) − (7x − 14) = 0.

На этом цикл деления окончен. Выпишем наши элементы в строчку и получим частное без остатка 2x2 + x+ 7. Это означает, что полином вида 2x3 − 3x2 + 5x − 14 мы можем представить как произведение (x − 2) × (2x2 + x + 7).

Мы все вычисления провели вручную, однако разделить многочлен на бином можно и в режиме онлайн. Наша программа позволяет делить многочлены от 2 до 5 степени на биномы вида ax + b. Для этого требуется выбрать степень полинома, ввести коэффициенты в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Важно указать коэффициенты с соответствующими знаками, так как в программе по умолчанию установлены плюсы. В результате калькулятор выдаст ответ вида

R(x) = P(x) / Q(x) – s,

где s — остаток от деления.

Заключение

Наш калькулятор позволяет быстро и без проблем разделить многочлен на бином для разложения выражения на множители. Такая операция может понадобиться школьникам и студентам при решении уравнений 3-5 степени или для разложения дробно-рациональных функций в сумму простых дробей.