Вычисление объединения двух множеств A и B

Результат расчёта
Объединённые множества: {$ result|join:', ' $}

Множество – это набор объектов. Объединение двух множеств A и B — это набор математических объектов, которое содержит все элементы A и B. Объединение множеств соответствует арифметической операции сложения, а сумма двух наборов A и B обозначается как A Î B или A + B.

История теории множеств

История изучения множеств берет начало в 1872 году, когда Георг Кантор начал работать над созданием специальной теории множеств. Немецкий ученый стремился придать действительным числам осязаемый вид. Действительное число – это математический объект, возникший из потребности проводить измерения. При счете мы используем натуральные числа, при работе с долями целого – дроби, а при измерениях нам приходится оперировать действительными числами.

До 19-го века не существовало строгой теории действительных чисел, которая объясняла бы характер их бесконечности. Георг Кантор разработал арифметику трансфинитных чисел, придав осязаемость актуальной бесконечности. Именно он ввел в математику термин континуум действительных чисел, который обозначал мощность вещественного множества, то есть количество всех его элементов. Идеи Георга Кантора превосходили свое время, поэтому поначалу теорию множеств не принимало математическое сообщество, а самого ученого обвиняли в шарлатанстве и даже растлении молодежи.

Несмотря на стройность теории Кантора, позже в ней возникли логические парадоксы, наиболее известным из которых стал парадокс Рассела о существовании множества множеств, не включающих самих себя. Однако в 1930-х годах группа французских математиков, работавших под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, использовала идеи Кантора для аксиоматического описания всей математики на основе теории множеств. Выкладки Бурбаки и других математиков того времени (Цермело и Френкеля) позволили создать аксиоматическую теорию множеств, а канторовская теория получила название наивной. Аксиоматический подход произвел переворот в математических кругах, а теория множеств получила всеобщее признание.

Что такое множество

Множество – это набор неупорядоченных объектов. В математике в качестве элементов множества выступают числа, а в реальности мы можем говорить о множестве людей, звезд, песчинок или любых других объектов. Множество из 10 яблок и набор из 10 песчинок являются разными множествами. А вот множество из 10 яблок, уложенных в пирамиду и множество 10 яблок, собранных в корзину, остается одним и тем же неупорядоченным множеством.

Допустим, у нас есть множество 5 натуральных последовательных чисел, состоящее из 1, 2, 3, 4, 5. В математической записи такой объект будет записан как {1, 2, 3, 4, 5}. Обозначим его как A. Очевидно, что 1 принадлежит к множеству А, что записывается как 1 Î A. Числа 6 в данном множестве нет, что записывается как 6 Î A. Как и многие математические объекты, с множествами можно производить арифметические действия, например, складывать.

Объединение двух множеств

Опишем еще одно множество B = {5, 6, 7, 8, 9}. Объединенным множеством C будет набор чисел, который состоит из всех элементов слагаемых множеств. Таким образом, C = {1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9}. В данном наборе у нас оказалось две пятерки. Если эти множества представляют собой комплекты чисел, то две пятерки неразличимы друг от друга, а согласно теории Кантора, множество не может содержать два неразличимых объекта. В результате объект C будет выглядеть как {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Если эти множества представляют собой различные данные, например, результаты замеров, и множество А содержит результаты замеров первого дня, а B — второго, то пятерки надежно различимы, так как имеют свой порядковый номер. Соответственно, результат сложения будет выглядеть как C = {1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9}.

Наша программа позволяет объединить два набора элементов по принципу надежной различимости, следовательно, результирующее множество будет содержать все элементы слагаемых. Если множества содержат одинаковые элементы с одинаковыми порядковыми номерами, то программа считает такие элементы неразличимыми и не дублирует их. Следовательно, результаты этих операций будут следующими:

  • {1, 2, 3} È {4, 2, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}, так как в обоих наборах двойка занимает одно и то же место;
  • {1, 2, 3} È {2, 1, 3} = {1, 2, 3, 2, 1, 3}, так как все числа имеют собственный порядковый номер.

Для объединения вам достаточно ввести в соответствующие ячейки элементы множеств через запятую, после чего нажать кнопку «Рассчитать». Программа мгновенно выдаст результат. Рассмотрим пример.

Примеры объединения

Пусть у нас есть два набора данных по 5 замеров, полученных в результате лабораторной работы:

  • A = {6, 24, 60, 120, 210};
  • B = {5, 25, 60, 117, 213}.

Оба набора содержат надежно различимые элементы, каждый из которых был получен в конкретных условиях. Для сохранения результатов объединим эти множества в одно. Для этого введем значения A и Bв соответствующие ячейки и получим результат:

{6, 24, 60, 120, 210, 5, 25, 117, 213}.

Наш калькулятор позволяет объединять множества с произвольным количеством элементов. При суммировании наборы могут содержать разное количество элементов, например, мы без проблем можем сложить наборы {1} и {3, 5, 8, 10, 7}, а в результате получить {1, 3, 5, 8, 10, 7}.

Заключение

Теория множеств внесла в развитие математики неоценимый вклад. Благодаря работам Кантора и Бурбаки в мир пришло новое понимание природы бесконечности, а современная теория множеств имеет глубокие связи с математической логикой. Используйте наш калькулятор для выполнения простых арифметических действий с различными множествами, что может потребоваться вам как в профессиональной деятельности, так и во время учебы.