Пересечение двух множеств — это некое третье множество, которое содержит только элементы, общие для заданных математических объектов. Определить такое множество легко при помощи нашего онлайн-калькулятора.
Теория множеств
Говоря простым языком, множество — это элементарный математический объект, который содержит определенный набор данных, предметов или чисел. Это исходное математическое понятие, которое невозможно представить другими терминами. Именно поэтому множество описывается как набор разрозненных элементов, мыслимое как единое целое. Понятие множества ввел немецкий математик Георг Кантор, который развил собственную теорию трансфинитных чисел, позволяющую оперировать вполне упорядоченными бесконечными множествами.
Георг Кантор разработал уникальную программу стандартизации всех математических знаний, согласно которой любой математический объект является тем или иным множеством. К примеру, согласно канторовской теории, любое натуральное число — это одноэлементное множество, принадлежащее надмножеству натурального ряда. Натуральный ряд, в свою очередь, считается подмножеством целого ряда, а целое множество — подмножеством действительного или вещественного ряда.
Теория Георга Кантора вызвала широкий резонанс в математических кругах. Многие современники негативно отзывались о его работах, особенно его учитель Леопольд Кронекер, который не принимал канторовского определения натурального числа. Несмотря на это, теория множеств получила признание позже, когда группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки предприняла попытку перевести весь математический аппарат на теоретико-множественный язык.
Операции с множествами
Существует две основные операции над множествами: объединение и пересечение. Если X и Yпредставляют собой множества, то объект Z становится их объединением в случае, если он включает в себя элементы X, Y или их обоих. Математически операция объединения обозначается как X È Y. Объект Z = X Ç Y состоит из членов, которые одновременно входят как в X, так и в Y, и носит название «пересечения» двух множеств X и Y.
Если у нас есть X = {1, 2, 3, 4, 5} и Y = {1, 3, 5, 7, 13, 21} то объединение множеств Z будет выглядеть как X È Y = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 21}, а пересечение как X Ç Y = {1, 3, 5}. Операции объединения и пересечения соответствуют суммированию в алгебре. Вместе с разностью эти операции образуют оригинальную «алгебру множеств». Согласно аксиомам теории множеств, любые алгебраические операции с множествами в результате должны выдавать множество. Поэтому если операция над объектами приводит к нулевому результату, согласно теории, образуется пустое множество.
Пустое множество — это математический объект, не содержащий ни одного элемента. К примеру, если X = {1, 2, 3, 4, 5}, а Y = {10, 15}, то в результате пересечения X Ç Y получится пустое множество X Ç Y = Æ. Пустое множество обладает интересным свойством — оно является несобственным подмножеством для любого существующего множества элементов.
Наша программа позволяет выполнять алгебраическую операцию пересечения двух объектов с произвольным количеством элементов. Для работы с калькулятором вам потребуется ввести в ячейки программы элементы множества через запятую, после чего определить объект, равный пересечению заданных множеств. Вы можете задать целочисленные множества или математические объекты, содержащие элементы в виде десятичных дробей. Важно учесть, что десятичные дробный числа также перечисляются через запятую, поэтому для записи самой дроби необходимо использовать точку. Например, для перечисления дробей 1/2, 1/4 и 0,75 вам потребуется ввести в ячейку множество {0.5, 0.25, 0.75}.
Примеры из реальной жизни
Геометрические фигуры
Допустим, существует множество X, которое содержит прямоугольники с разными длинами сторон. Также существует множество Y, содержащее ромбы с разными углами. Из курса геометрии мы знаем, что ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны все углы. В множествах X и Y могут встретиться ромбы с углами по 90 градусов или прямоугольники с одинаковыми сторонами. Фигура, у которой все углы прямые, а все стороны равны — это квадрат. Соответственно, пересечением множеств ромбов X и прямоугольников Y является множество квадратов Z.
Отрезки
Пусть у нас есть два отрезка, которые задаются координатами X = [1, 3] и Y = [2, 4]. Пересечением данных множеств будет отрезок [2, 3], так как именно эти числа входят в диапазон значений обоих отрезков на числовой оси.
Еще пример
Давайте попробуем узнать пересечение пятиэлементных множеств простых и четных чисел. Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу. Четное число — число, которое делится на 2 без остатка. Итак, наши множества S = {2, 3, 5, 7, 11} и E = {2, 4, 6, 8, 10}. Введем эти данные в онлайн-калькулятор и получим результат в виде P = {2}.
Заключение
Теория множеств находит применение в различных прикладных задачах. Пользуйтесь нашими калькуляторами для решения учебных или реальных заданий по теории множеств.
