Калькулятор последовательности Фибоначчи

Числа Фибоначчи — последовательность целых чисел, каждый член которой образовывается путем сложения предыдущих двух. Фибо-числа пронизывают реальность насквозь, и найти эту последовательность можно в самых неожиданных местах.

История открытия

В 1202 году пизанский ученый Леонардо опубликовал свой труд «Книга абака», в которой он рассмотрел задачу о воспроизводстве кроликов. Условие задачи было следующим. Взрослая пара кроликов производит пару крольчат каждый месяц. В свою очередь крольчата через месяц взрослеют и производят уже собственное потомство. Леонардо хотел выяснить, сколько пар кроликов родится к концу одного года, если животные чудесным образом не умирают.

Математик составил «фамильное древо» кроликов и рассчитал количество пар животных в течение каждого месяца. Он получил следующий результат:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

Это и есть знаменитая последовательность Фибоначчи. Естественно, Леонардо не создавал эту последовательность с нуля. Числовой ряд F известен с античных времен. Так в древней Индии коэффициенты ряда использовались при измерении стихотворных размеров. В современной науке Фибо-числа используются в экономике, прогнозировании котировок финансовых инструментов и программировании, поэтому с 1970-х годов популярность последовательности возросла до небес.

Фибо-ряд в реальности

В природе развитие часто происходит по спирали, которая математически описывается при помощи последовательности Фибоначчи. Форму такой спирали имеют раковины моллюсков, атмосферные явления и целые галактики. Спиралевидное листорасположение многих растений соответствует числам Фибоначчи: сосновые шишки, ячейки ананаса и лепестки цветов располагаются с учетом коэффициентов последовательности. К примеру, семена в цветке подсолнуха располагаются по схеме: 34 в одну сторону и 55 в другую.

Фибо-числа влияют и на человека. Многие композиторы и писатели используют числовую последовательность в своих произведениях как напрямую при построении композиции, так и косвенно, черпая вдохновение в магии чисел. И, конечно же, числа пронизывают само наше тело: длины фаланг пальцев человека соотносятся как Фибо-числа.

Золотое сечение и Фибо-числа

Золотое сечение — это отношение сторон фигуры a и b, равное 1,618. Считается, что объекты подобной формы особенно приятны человеческому глазу. Это соотношение известно еще со времен Пифагора, однако повальное увеличение золотыми пропорциями началось только в эпоху Ренессанса. Именно тогда Лука Пачоли назвал соотношение сторон равное 1,618 божественной пропорцией.

В 1724 году Даниель Бернулли, член знаменитой семьи ученых, выразил золотое сечение через числа Фибоначчи. Бернулли выяснил, что ряд Fn/Fn-1 стремится к 1,618. Посмотрите сами, 233/144 = 1,618055, а 377/233 = 1,618025. Золотое сечение, как и Фибо-числа, встречается повсеместно. Соотношение присутствует в таких природных вещах как пропорции тела человека, спиральные структуры или биоритмы. Кроме того, многие дизайнеры, фотографы и архитекторы сознательно используют золотую пропорцию в своих работах.

Калькулятор последовательности Фибоначчи

При помощи нашего калькулятора вы можете построить последовательность Фибо-чисел выбранной длины. Это бесконечный ряд чисел и теоретически вы можете указать любое количество членов, однако на практике калькулятор рассчитывает не более сотни коэффициентов. Для построения ряда вам потребуется ввести количество элементов, однако программа начинает последовательность с нуля. Это важно учитывать при решении практических задач, так как реальный ряд начинается с единицы. Рассмотрим пример использования Фибо-чисел в комбинаторике.

Пример из реальной жизни

Определение количества вариантов

Представьте, что в копилке лежит множество монет номиналом 1 и 2 рубля. Нам требуется узнать, сколькими способами можно вытащить определенную сумму из копилки, вынимая по одной монете за раз. Здесь важен порядок. К примеру, достать 4 рубля можно так:

• 1 + 1 + 1 + 1;
• 1 + 1 + 2;
• 1 + 2 + 1;
• 2 + 1 + 1;
• 2 + 2.

Итого 5 способов набрать требуемую сумму. Если вы помните, то четвертый член последовательности Фибоначчи это как раз число 5. Таким образом, вы можете рассчитать комбинаторную задачу, используя Фибо-числа. Давайте узнаем, сколькими способами мы можем вытащить из копилки 25 рублей? Для этого нам нужно узнать 25 член последовательности. Так как калькулятор считает с нуля, введем в ячейку число 26 и получим ответ: 75 025. Таким образом, существует 75 025 способов достать 25 рублей из копилки при помощи монет номиналом 1 и 2 рубля.

Заключение

Числа Фибоначчи — уникальная арифметическая последовательность. Из-за «связей» с природными объектами Фибо-числа считаются ключом к разгадке тайн мироздания. На практике же ряд Фибоначчи используется при решении комбинаторных задач, а также в сферах экономики, финансов, биологии и информатики.