Собственные векторы и значения матрицы 2×2

Собственный вектор квадратной матрицы — это такой вектор, который при умножении на заданную матрицу дает в результате коллинеарный вектор. Простыми словами, при умножении матрицы на собственный вектор последний остается тем же самым, но умноженным на некоторое число.

Определение

Собственный вектор — это ненулевой вектор V, который при умножении на квадратную матрицу Mпревращается в самого себя, увеличенного на некоторое число λ. В алгебраической записи это выглядит как:

M × V = λ × V,

где λ — собственное число матрицы M.

Рассмотрим числовой пример. Для удобства записи числа в матрице будет отделять точкой с запятой. Пусть у нас есть матрица:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Умножим ее на вектор-столбец:

• V = -2;
• 1.

При умножении матрицы на вектор-столбец мы получаем также вектор-столбец. Строгим математическим языком формула умножения матрицы 2 × 2 на вектор-столбец будет выглядеть так:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означает элемент матрицы M, стоящий в первой строке и первом столбце, а M22 — элемент, расположенные во второй строке и втором столбце. Для нашей матрицы эти элементы равны M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-столбца эти значения равны V11 = –2, V21 = 1. Согласно этой формуле мы получим следующий результат произведения квадратной матрицы на вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Для удобства запишем вектор столбец в строку. Итак, мы умножили квадратную матрицу на вектор (-2; 1), в результате чего получили вектор (4; -2). Очевидно, что это тот же вектор, умноженный на λ = -2. Лямбда в данном случае обозначает собственное число матрицы.

Собственный вектор матрицы — это коллинеарный вектор, то есть объект, который не изменяет своего положения в пространстве при умножении его на матрицу. Понятие коллинеарности в векторной алгебре сходно с термином параллельности в геометрии. В геометрической интерпретации коллинеарные вектора — это параллельные направленные отрезки разной длины. Еще со времен Евклида мы знаем, что у одной прямой существует бесконечное количество параллельных ей прямых, поэтому логично предположить, что каждая матрица обладает бесконечным количеством собственных векторов.

Из предыдущего примера видно, что собственными векторами могут быть и (-8; 4), и (16; -8), и (32, -16). Все это коллинеарные вектора, соответствующие собственному числу λ = -2. При умножении исходной матрицы на эти вектора мы все так же будет получать в результате вектор, который отличается от исходного в 2 раза. Именно поэтому при решении задач на поиск собственного вектора требуется найти только линейно независимые векторные объекты. Чаще всего для матрицы размером n × n существует n-ное количество собственных векторов. Наш калькулятор заточен под анализ квадратных матриц второго порядка, поэтому практически всегда в результате будут найдены два собственных вектора, за исключением случаев, когда они совпадают.

В примере выше мы заранее знали собственный вектор исходной матрицы и наглядно определили число лямбда. Однако на практике все происходит наоборот: в начале находится собственные числа и только затем собственные вектора.

Алгоритм решения

Давайте вновь рассмотрим исходную матрицу M и попробуем найти оба ее собственных вектора. Итак, матрица выглядит как:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Для начала нам необходимо определить собственное число λ, для чего требуется вычислить детерминант следующей матрицы:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Данная матрица получена путем вычитания неизвестной λ из элементов на главной диагонали. Детерминант определяется по стандартной формуле:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так как наш вектор должен быть не нулевым, полученное уравнение принимаем как линейно зависимое и приравниваем наш детерминант detA к нулю.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Раскроем скобки и получим характеристическое уравнение матрицы:

λ² − 10λ ­− 24 = 0

Это стандартное квадратное уравнение, которое требуется решить через дискриминант.

D = b² − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корень из дискриминанта равен sqrt(D) = 14, следовательно, λ1 = -2, λ2 = 12. Теперь для каждого значения лямбда требуется найти собственный вектор. Выразим коэффициенты системы для λ = -2.

• М − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

В данной формуле E — это единичная матрица. На основании полученной матрицы составим систему линейных уравнений:

2x + 4y = 6x + 12y,

где x и y — элементы собственного вектора.

Соберем все иксы слева, а все игреки справа. Очевидно, что — 4x = 8y. Разделим выражение на — 4 и получим x = –2y. Теперь мы можем определить первый собственный вектор матрицы, приняв любые значения неизвестных (вспоминаем про бесконечность линейно зависимых собственных векторов). Примем y = 1, тогда x = –2. Следовательно, первый собственный вектор выглядит как V1 = (–2; 1). Вернитесь в начало статьи. Именно на этот векторный объект мы умножали матрицу для демонстрации понятия собственного вектора.

Теперь отыщем собственный вектор для λ = 12.

• М — λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Составим такую же систему линейных уравнений;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Теперь примем x = 1, следовательно, y = 3. Таким образом, второй собственный вектор выглядит как V2 = (1; 3). При умножении исходной матрицы на данный вектор, в результате всегда будет такой же вектор, умноженный на 12. На этом алгоритм решения заканчивается. Теперь вы знаете, как вручную определить собственный вектор матрицы.

Наша программа позволяет мгновенно рассчитать собственные вектора квадратной матрицы, а также ее дополнительные параметры:

• определитель;
• след, то есть сумму элементов на главной диагонали;
• ранг, то есть максимальное количество линейно независимых строк/столбцов.

Программа действует по выше приведенному алгоритму, максимально сокращая процесс решения. Важно указать, что в программе лямбда обозначена литерой «c». Давайте рассмотрим численный пример.

Пример работы программы

Попробуем определить собственные вектора для следующей матрицы:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Введем эти значения в ячейки калькулятора и получим ответ в следующем виде:

• Ранг матрицы: 2;
• Детерминант матрицы: 18;
• След матрицы: 19;
• Расчет собственного вектора: c² − 19,00c + 18,00 (характеристическое уравнение);
• Расчет собственного вектора: 18 (первое значение лямбда);
• Расчет собственного вектора: 1 (второе значение лямбда);
• Система уравнений вектора 1: -13×1 + 13y1 = 4×1 − 4y1;
• Система уравнений вектора 2: 4×1 + 13y1 = 4×1 + 13y1;
• Собственный вектор 1: (1; 1);
• Собственный вектор 2: (-3,25; 1).

Таким образом, мы получили два линейно независимых собственных вектора.

Заключение

Линейная алгебра и аналитическая геометрия — стандартные предметы для любого первокурсника технической специальности. Большое количество векторов и матриц приводит в ужас, а в столь громоздких вычислениях легко сделать ошибку. Наша программа позволит студентам проверить свои выкладки или автоматически решит задачу на поиск собственного вектора. В нашем каталоге есть и другие калькуляторы по линейной алгебре, используйте их в своей учебе или работе.