Цепные или непрерывные дроби — интересная запись дробных чисел, которая позволяет изобразить действительное число с достаточной точностью. Цепные дробные числа нашли широкое применение в математике, поэтому вам может понадобиться калькулятор, который быстро приведет десятичную или обыкновенную дробь в непрерывную.
Историческая справка
Теоретическая база записи рациональных чисел в элегантном виде была заложена в далеком 1572 году римским математики Бомбелли, а современная форма записи была предложена в 1613 году его соотечественником Катальди. Позднее Эйлер обобщил разрозненные концепции в единую теорию и использовал ее при решении производных, разложении функций и представлении бесконечных произведений.
Смысл математического выражения
Вместо обыкновенной дроби, у которой есть числитель и знаменатель, рациональное число можно представить в виде цепной дроби. Непрерывное дробное число — это многоэтажная дробь. У такого соотношения в каждом знаменателе содержится рациональное число, в знаменателе которого также есть дробь. Для приведения обыкновенного соотношения к цепному виду достаточно повторять действие по вычленению целой части, а затем представлению остатка в обратном виде. Звучит запутанно, поэтому давайте попробуем на практике.
Алгоритм приведения к цепному виду
Давайте сделаем цепным рациональное число 25/17. Для этого нам нужно вычленить целую часть:
25/17 = 1 + 8/17
Теперь представим 8/17 в обратном виде как 1 / 17/8. Повторим операцию по вычленению целой части:
17/8 = 2 + 1/8
Представим число 1/8 в обратном виде как 1 / 8/1. Выделение целой части не требуется, так как 8 — целое число. На этом преобразование окончено. Для удобства записи цепные соотношения записываются не как многоэтажная дробь, а в виде вектора полученных целых коэффициентов. Таким образом, 25/17 преобразовывается в [1; 2, 8].
Преимущества цепных дробей
Зная непрерывную дробь, мы можем опередить действительное число с более высокой точностью, чем при использовании обыкновенных или десятичных соотношений. Главное преимущество такой формы записи перед десятичной состоит в отсутствии связей непрерывных дробей с какими-либо системами исчисления. К примеру, иррациональность числа выражается бесконечной цепной дробью. Помимо этого, периодичность бесконечной дроби демонстрирует факт, что число характеризуется квадратичной иррациональностью. В сравнении с десятичной записью иррациональных чисел непрерывные дроби отличаются высокой точностью.
Применение цепных дробей
Главный недостаток непрерывных дробных чисел — это отсутствие каких-либо правил выполнения арифметических действий с ними, поэтому широкого распространения они не получили. Несмотря на низкую популярность, цепные дроби применяются в алгоритме Евклида — алгоритме отделения и аппроксимации вещественных корней с целыми коэффициентами.
Одним из исторических примеров использования цепных дробей можно назвать создание одного из первых механических планетариев. В 1682 году нидерландский механик Христиан Гюйгенс построил зубчатый механизм, при расчете которого он применил теорию непрерывных дробей. Такой расчет позволил создать планетарий, который отображал взаимное движение планет с максимальной точностью.
Преобразование рациональных чисел в цепные дроби
Наш онлайн-калькулятор позволяет преобразовать любую десятичную или обыкновенную дробь в непрерывную. Для этого вам потребуется выбрать тип записи числа и ввести его значение. Калькулятор мгновенно рассчитает результат и представит его в виде вектора целых коэффициентов. Рассмотрим небольшой пример.
Пример из реальной жизни
Разложения числа Пи
Разложение дроби 25/17 вручную заняло пару минут и в результате мы получили всего 3 коэффициента. Число Пи — иррациональное бесконечное число, и мы можем представить его в виде бесконечной цепной дроби. Возьмем из Википедии первые 20 знаков Пи после запятой 3,1415926535 8979323846 и введем его в поле калькулятора «Десятичная дробь». Мы получим мгновенный результат в виде:
[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 4, 2, 3, 1, 12, 5, 1, 5, 20, 1, 11, 1, 1, 1, 2]
Вы можете разложить любое число в цепную дробь, и чем больше коэффициентов она содержит, тем точнее представление действительного числа.
Заключение
Цепные дроби — элегантный способ представить любое действительное число как можно точнее. Данная теория не получила слишком широкого распространения в современной науке, однако в математических гимназиях до сих пор преподают цепные дроби как один из интересных методов работы с числами. Используйте наш калькулятор для приведения чисел к непрерывному виду.
