Калькулятор расчета суммы квадратов/кубов последовательных чисел

Сумма
Результат расчёта
{$ main.types[data.type] $}: {$ result|number $}

Последовательные числа — это члены натурального ряда, идущие друг за другом. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов. 1, 2, 3, 4 — последовательные элементы натурального ряда.

Числовые последовательности

Последовательность — упорядоченный набор чисел, который образуется по определенному закону. Существует множество самых разных числовых наборов, самым простым и понятным из которых считается натуральный ряд. Первые числа, которые дети учат в начальных классах, это члены натуральной последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... n

Буквой n обозначается общий член последовательность, а для натурального ряда n считается и законом образования ряда. Закон последовательности — это форма записи принципа, по которому образуются члены ряда. Простой закон n означает, что номер элемента числового набора соответствует его значению. Первый элемент равен 1, второй — 2, десятый — 10. Для последовательности четных чисел, которая задается законом 2n, первый элемент набора будет равен 2, второй — 4, а десятый — 20. Набор нечетных чисел задается формулой 2n – 1, и в этом случай первый член ряда будет равен 1, второй — 3, десятый — 19.

Работа с числовыми наборами и законами их образования позволила математикам вывести формулы для определения сумм последовательных чисел натурального ряда.

Сложение последовательных чисел

Сумма первых n последовательных элементов натурального набора выражается следующей формулой:

∑ = 0,5 n × (n + 1)

Данная формула позволяет вычислить сумму натурального ряда от 1 до n. При сложении последовательных чисел не с первого элемента существует несколько хитростей, среди которых:

  • для суммирования четырех последовательных чисел достаточно умножить наибольшее число на 4 и из результата отнять 6;
  • для сложения любых пяти последовательных чисел достаточно умножить третий элемент набора на 5;
  • для вычисления суммы шести последовательных чисел следует умножить наибольшее число на 6 и из результата вычесть 15.

Рассмотрим пару примеров:

  • Сумма ряда от 1 до 10 вычисляется по формуле и равна 0,5 × 10 × 11 = 55.
  • Сумма ряда 5 + 6 + 7 + 8 + 9 определяется как 7 × 5 = 35.
  • Сумма ряда 57 + 58 + 59 + 60 вычисляется как 60 × 4 — 6 = 234.
  • Сумма ряда 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 определяется как 26 × 6 — 15 = 141.

Правильность расчетов при помощи хитростей вы можете проверить на калькуляторе.

Сложение квадратов последовательных чисел

Более сложная задача состоит в суммирования последовательных чисел, возведенных в квадрат. Начало набора квадратов последовательных чисел выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Такой набор чисел задается простой формулой n2. Для определения суммы первых n членов квадратного ряда используется формула:

∑ = (n × (n + 1) × (2n + 1)) / 6

Для подсчета суммы первых пяти членов квадратной ряда 1 + 4 + 9 + 16 + 25, то есть n = 5, расчеты будут выглядеть как:

∑ = (5 × 6 × (2 × 5 + 1)) / 6 = 55

Используя данную формулу легко подсчитать общую сумму квадратов первых n квадратов.

Сложение кубов последовательных чисел

Ряд последовательных чисел можно модифицировать и представить его в виде последовательности кубов. Это означает, что каждый член числового набора 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... n возводится в куб, и в результате мы получаем последовательность кубов:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 ... n3

Для нахождения суммы первых n членов кубического ряда используется выражение:

∑ = (0,5 × n × (n+1))2

Например, для нахождения значения ряда при n = 5, то есть выражения 1 + 8 + 27 + 64 + 125, расчеты будут выглядеть следующим образом:

∑ = (0,5 × 5 × 6)2 = 152 = 225

При помощи этой простой формулы легко вычислить сумму кубов для сколь угодно большого n.

Наш калькулятор использует выше приведенные формулы для вычисления сумм квадратов или кубов натурального ряда для его первых n членов. Для расчетов вам необходимо выбрать тип калькулятора «Квадраты» или «Кубы», после чего ввести в ячейку количество элементов ряда. В теоретической части мы рассматривали сумму ряда из 5 членов, а при помощи онлайн-калькулятора легко рассчитать большие суммы.

Примеры использования

Рассчитаем сумму квадратов для 250 членов натурального ряда, то есть решим выражение 1 + 4 + 9 + … + 62 500. Для этого введем в форму калькулятора число 250 и получим мгновенный результат, равный 5 239 625.

Теперь вычислим сумму кубов для 250 членов натурального ряда, что будет равнозначно решению выражения 1 + 8 + 27 + … + 15 625 000. Изменим тип калькулятора и выберем «Куб», после чего введем в ячейку программу число 250. Наш результат не заставит себя ждать, и мы увидим 984 390 625.

Заключение

Для подсчета конечных сумм последовательных рядов используются простые формулы, которые, однако, не всегда удобно применять при повседневных расчетах. Используйте нашу программу для мгновенного подсчета значения квадратных и кубических рядов.