Определение идеального квадрата и идеального куба

Идеальный
Результат расчёта
  • {$ data.number|number $} является идеальным квадратом {$ result|number $} × {$ result|number $}
  • {$ data.number|number $} является идеальным кубом {$ result|number $} × {$ result|number $} × {$ result|number $}
  • {$ data.number|number $} не является идеальным {$ main.types2[data.type] $}

Идеальный или полный квадрат — это такое натуральное число, квадратный корень которого является целым числом. Идеальный куб — такое целое число, кубический радикал которого также целое число. В этой статье мы обозначим квадратный корень привычным sqrt, а кубический — необычным cube.

Идеальный квадрат

Итак, чтобы понять, является ли число идеальным квадратом, требуется вычислить его квадратный корень. Как это сделать? Для небольших чисел легко просто задаться вопросом, какое число требуется возвести в квадрат, чтобы получилось заданное? К примеру, 49. Очевидно, что 49 — идеальный квадрат 7 × 7, и это известно нам еще с таблицы умножения. Но что делать с большими числами, к примеру, 1156 — это идеальный квадрат или нет? Рассмотрим простой способ ручного определения «квадратности» числа.

Разложение на квадратные множители

Обычно при разложении на множители используются простые числа — элементы, которые делятся только на себя и на единицу. К простым относятся числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее, последовательность неделимых устремляется в бесконечность. Однако в теории чисел существует множество самых разных последовательностей. Самая известная — это последовательность натуральных чисел, которые используются при счете предметов. Затем идет чет/нечет, простые и совершенные числа и наконец фигурные числа. Фигурные, а именно квадратные числа, нам и нужны для разложения на множители. Квадратная последовательность представляет собой ряд идеальных квадратов. Ее начало выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289...

Первый член последовательности — это единица, которая является квадратом самой себя, 4 — это квадрат двойки, 9 — тройки, 16 — четверки, 25 — пятерки и так далее. При вычислении квадратного корня нам понадобится разложить подкоренное число на квадратные множители, то есть числа из данной последовательности, начиная с наименьшего. Алгоритм вычислений следующий:

  • делим подкоренное число на квадратное до тех пор, пока не получим простое или квадратное частное;
  • представляем подкоренной элемент в виде произведения квадратных чисел;
  • определяем радикалы и вычисляем произведение.

Наше число 1156 разделим вначале на 4. Получим 289. Отлично, 1156 можно представить в виде произведения двух квадратных чисел:

1156 = 4 × 289.

Согласно первому тождественному преобразованию мы можем беспрепятственно взять корни с правой и с левой сторон числового равенства. Получим:

sqrt(1156) = sqrt(4 × 289).

Подкоренное произведение можно представить в виде произведения корней:

sqrt(1156) = sqrt(4) × sqrt(289).

Квадратные корни 4 и 289 мы знаем и так — это 2 и 17. Таким образом, радикал 1156 выражается как:

sqrt(1156) = 2 × 17 = 34.

Число 34 — целое, поэтому 1156 считается идеальным квадратом. Давайте проделаем те же действия с 832. Разложим на квадратные множители:

  • 832/4 = 208;
  • 208/16 = 13.

Итак, мы можем представить 832 в виде произведения трех чисел 4 × 16 × 13. Два из них квадратные, но 13 — простое число. Тогда sqrt(832) будет выглядеть как 2 × 4 × sqrt(13) или 8 квадратных корней из 13. Очевидно, что 832 — это не идеальный квадрат, так как его радикал представляет собой иррациональное число.

Кубический корень

Кубические радикалы вычислять сложнее, и нет такого простого способа, при помощи которого было бы легко подсчитать значение корня для достаточно большого числа. Проще всего кубические корни определяются методом оценки. Данный метод также оперирует последовательностью, но в этот раз кубической:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197...

Оценка подразумевает приблизительное значение радикала, которое находится в диапазоне между кубическими числами. К примеру, чему равен кубический корень числа 400? Его нет в нашей последовательности, поэтому мы можем оценить, что значение cube(400) лежит между 7 и 8, так как числа 343 и 512 представляют собой идеальные кубы 7 × 7 × 7 и 8 × 8 × 8. Так как 400 ближе к 343, то и cube(400) будет ближе к 7, следовательно, мы можем предположить, что значение cube(400) приблизительно равно 7,3. Если проверить на калькуляторе, то окажется, что кубический радикал 400 равен 7,368062... Неплохой результат для приблизительных подсчетов.

В целом же определение идеального куба заключается в поиске его значения в последовательности кубические чисел. Если его там нет, то заданное число не является кубом. Так как вручную это определить сложно, проще всего пользоваться нашим калькулятором идеальных кубов и квадратов.

Наша программа позволяет определить, является ли число полным квадратом или кубом. Естественно, что для малых чисел до 1 000 такой калькулятор может не пригодиться, ведь большинство и так помнят начала соответствующих последовательностей. Но что делать с действительно большими числами? Именно для них и разработан наш инструмент. Рассмотрим примеры.

Вычисление полных квадратов

Давайте попробуем узнать, являются ли следующие числа особенными. Для этого введем их в форму калькулятора и протестируем:

  • 795 412 не полный квадрат;
  • 103 041 = 321 × 321;
  • 354 897 не полный квадрат;
  • 443 556 = 666 × 666;
  • 6 241 = 79 × 79.

Таким образом можно проверить любое, сколь угодно большое число.