Калькулятор переходного неравенства

Понятие неравенство связано со сравнением двух числовых объектов или алгебраических выражений. Смысл неравенства познается вместе со смыслом таких определений как больше или меньше, выше или ниже, дороже или дешевле, дальше или ближе, холоднее или теплее. 

Определение неравенства

Два любых числа или алгебраических выражения, которые соединены знаками отношения «больше» (>), «меньше» (<), «больше либо равно» (≥), «меньше либо равно» (≤) или «неравно» (≠), образуют неравенства. Знаки неравенства в их сегодняшнем виде предложил английский математик Томас Гарриот, который работал над развязыванием систем неравенств и опубликовал свои труды в печати. Обозначения «>» и «<» приглянулись не только математикам, но и книгопечатникам, так как знаки представляли собой просто перевернутую на 90 градусов литеру V.

Существует два фундаментальных класса неравенств. Неравные выражения со знаками «больше» и «меньше» считаются строгими и записываются как:

5 > 3 или 34 < 56

Нестрогие неравенства — это соотношения со знаком равно, которые обычно используются в буквенных неравенствах, когда значение одного аргумента неизвестно. Например, в выражении:

x + 3 ≥ 4,

при x = 1 неравенство тождественно и выглядит как 4 = 4, а при всех x > 1 выражение также тождественно и принимает выражения 5 > 4, 6 > 4 и так далее.

При решении неравенств с неизвестными строгие и нестрогие знаки крайне важны при определении области допустимых значений функции. Например, если x > 3, то это означает, что он хоть на одну миллиардную долю, но больше 3, следовательно, тройка никогда не входит в область допустимых значений. При нестрогом неравенстве x≥3 включает в диапазон решений собственно тройку и все, что больше нее.

Виды неравенств

Выражения вида a > b и c > d называются неравенствами одинакового смысла. Такое название выражения получили из-за одинаковых знаков. Если же выражения выглядят как a > b и c < d, то такие числовые объекты считаются неравенствами противоположного смысла. К примеру, два выражения x > 3 и y > 4 считаются неравенствами одного смысла, а вот x > 3 и y < 5 — противоположного.

Буквенные неравенства противоположного смысла могут объединяться в двойные. Например, если x > 3 и x < 5, то такое выражение можно переписать как двойное неравенство 3 < x < 5. Это означает, что аргумент функции лежит строго в пределах от 3 до 5. 

Свойства неравенств

Неравенства обладают несколькими полезными свойствами. Рассмотрим подробнее.

Свойство №1

Если a > b, то a + c > b + c. Если к обеим сторонам неравного соотношения прибавить одно и то же число или алгебраическое выражение, то знак неравенства не изменится.

Пример

Пусть есть выражение 10 > 5. Добавим к каждой части по 5. Получим 15 > 10, что верно. Добавим к каждой части по отрицательному числу, например, по — 2. Получим 8 > 3, и вновь верно. Точно также можно добавлять неизвестные аргументы и целые полиномы.

Свойство №2

Если a > b и n > 0, то a×n > b×n. Если обе части неравного соотношения умножить на одно и то же положительное число, то знак останется прежним. 

Пример

Вновь посмотрим на числовое соотношение 10 > 5. Примем n = 2 и умножим обе части выражения на n. Получим 20 > 10. Очевидно, что все сходится.

Свойство №3

Если a < b и n < 0, то a × n > b × n. Если обе стороны неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Пример

Пусть у нас есть неравенство 10 > 5 и n = -2. Умножим обе части на минус 2 и получим, что -20 < -10. С отрицательными числами не всегда очевидно, ведь даже при сравнении температуры мы говорим, что мороз «увеличился», в то время как показатели на градуснике уменьшились. Тем не менее минус 20 явно меньше минус 10. 

Свойство №4

Если a > b и b > c, то верно выражение a > c. Такое выражение называется переходным неравенством, и наш калькулятор работает именно с такими числовыми объектами. Задаваясь значениями переменных a, b, c мы можем составить переходное неравенство, которое соответствует свойству всех числовых соотношений.

Пример

Допустим есть выражение 10 > 5 и 5 > 3. В этом случае a = 10, b = 5, c = 3. Согласно четвертому свойству в результате получится, что a > c или 10 > 3. Вполне логично. 

Наша программа представляет собой калькулятор, определяющий соотношения чисел в качестве переходного неравенства. Для работы с онлайн-инструментом требуется ввести значения a, b и c, после чего программа решит, составляют ли введенные значения переходное неравенство или нет. 

Заключение

Неравные числовые или буквенные соотношения и их системы широко используются в самых разных прикладных науках. Например, изучение проблем макроэкономики осуществляется путем составления и решения систем нелинейных неравенств. Классические неравенства используются в высшей математике: неравенство Коши применяется при сравнении площадей, а неравенство Бернулли — для сравнения иррациональных чисел. Кроме того, существуют неравенства, которые являются однозначным способом доказательства существования некоторых объектов. Используйте наши инструменты для работы с переходными неравенствами.