6 калькуляторов для решения линейных уравнений

Решить
* x +=
* x2 +* x +=
  • * x3 +
  • * x2 +
  • * x +
  • =
  • * x4 +
  • * x3 +
  • * x2 +
  • * x +
  • =
* x +* y +=
* x +* y +=
* x +* y +* z =
* x +* y +* z =
* x +* y +* z =
{$ error $}!
Результаты расчёта
A-1{$ result.IA[0][0]|number $}{$ result.IA[0][1]|number $}{$ result.IA[0][2]|number $}*{$ result.B[0][0]|number $}={$ result.x|number $}
{$ result.IA[1][0]|number $}{$ result.IA[1][1]|number $}{$ result.IA[1][2]|number $}{$ result.B[1][0]|number $}{$ result.y|number $}
{$ result.IA[2][0]|number $}{$ result.IA[2][1]|number $}{$ result.IA[2][2]|number $}{$ result.B[2][0]|number $}{$ result.z|number $}
  • x = {$ result.x|number $}
  • y = {$ result.y|number $}
  • z = {$ result.z|number $}
Результаты расчёта
  • x1 = {$ main.FormatResult(result.x1) $}
  • x2 = {$ main.FormatResult(result.x2) $}
  • x3 = {$ main.FormatResult(result.x3) $}
  • x4 = {$ main.FormatResult(result.x4) $}
Значение дискриминанта: b2 − 4 * a * c = {$ result.d|number $}

Линейные уравнения – это элементарные уравнения школьной алгебры, при решении которых обычно не возникает никаких проблем. Наш калькулятор позволит вам проверить правильность решения любого линейного уравнения.

Определение

Линейное уравнение – это равенство вида:

ax + b = 0,

где a и b — произвольные числа.

Решением линейного уравнения называется поиск такого значения x, при котором отношение становится тождеством.

В качестве примера таких равенств можно привести уравнения:

  • 5x + 6 = 0, где a = 5, b = 6;
  • 0,75x − 0,25 = 0, где a = 0,75, b = −0,25;
  • 1/4 x + 2/7 = 0, где a = 1/4, b = 2/7.

Важно понимать, что a и b могут принимать нулевые значения, и тогда равенства будут выглядеть довольно странно. При нулевых коэффициентах уравнения превращаются в обыкновенные тождества типа 5 = 5 или 0 = 0, которые и решать не требуется.

Внешний вид и тождественные преобразования

Каждое уравнение имеет свой определенный алгоритм решения, поэтому чтобы понять, каким именно способом развязывать задачу, прежде всего, необходимо определить тип равенства. Помимо линейных уравнений существуют квадратные, кубические, тригонометрические, показательные и многие другие типы отношений. Опознать линейное довольно просто – оно должно выглядеть как ax + b = 0 или приводиться к этому виду. Если неизвестный x находится в знаменателе, в показатели степени или имеет степень, отличную от единицы – это не линейное уравнение.

К примеру, уравнение вида:

x2 + 5x + 3 = x2 − 2x + 8

на первый взгляд кажется квадратным, так как в нем присутствует неизвестный икс во второй степени. Однако при помощи тождественных преобразований данное уравнение легко привести к виду ax + b = 0. Для работы с любыми типами уравнений используются два тождественных преобразования:

  • к каждой части уравнения можно добавить/отнять одно и то же число;
  • каждую часть уравнения можно умножить/разделить на одно и то же число.

Правило добавления/отнимания числа, по сути, является переносом через знак равенства с заменой знака. Например, в примере x + 2 = 5 мы просто переносим двойку через знак равенства со знаком минус и получаем ответ x = 5 − 2 или x = 3. Однако данная операция выглядит как вычитание двойки из каждой части уравнения:

x + 2 − 2 = 5 − 2 или x = 3.

Вернемся к исходному уравнению x2 + 5x + 3 = x2 − 2x + 8. От каждой части без проблем можно отнять x2 и в результате получить:

5x + 3 = −2x + 8.

Очевидно, что это линейное уравнение и его можно решить.

Алгоритм решения линейных уравнений

Линейные уравнения – самые простые равенства из всех и для их решения достаточно следовать элементарному правилу: все иксы собираем слева, все числа – справа. Это означает, что для решения любого линейного равенства требуется свободные коэффициенты вынести в правую часть уравнения, а все неизвестные – в левую. При переносе через «равно» знак всегда меняется. В нашем примере 5x + 3 = −2x + 8 потребуется перенести 3 влево и поменять знак, и −2x — вправо и также поменять знак. Мы получим:

  • 5x + 2x = −3 + 8,
  • 7x = 5.

Ответ интуитивно понятен всем, кто уже знаком с решением уравнений. Но если говорить строгим математическим языком, для поиска неизвестного нам потребуется применить второе тождественное преобразование, то есть левую и правую часть равенства разделить на 7. В ответе получим x = 5/7.

Графическое решение уравнений при помощи калькулятора

Наш калькулятор решает линейные уравнения не аналитическим, а графическим способом. Это необычный на первый взгляд метод. Пусть у нас есть уравнение 2x + 2 = 6. Решая его аналитически, мы бы применили правило «все иксы слева, все числа справа» и получили результат x = 2. Графический метод подразумевает трансформацию уравнения в функцию, при котором правая часть уравнения заменяется второй неизвестной y. Это означает, что наше уравнение превращается в функцию 2x + 2 = y. Такая функция имеет бесконечное количество решений, а данное уравнение описывает линию, которую калькулятор отрисовывает в окне программы.

Для решения нашего уравнения достаточно выбрать одно из решений, когда y = 6. Для этого требуется найти 6 на оси y, провести до уравнения прямой и опустить перпендикуляр на ось x. Как видите, для y = 6 аргумент x = 2. Таким образом, аналитический и графический способ решения уравнений дают один и тот же результат.

Наша программа представляет собой калькулятор решения простых линейных уровней вида ax + b = y. Ответ программа представляет в графическом виде, рисуя прямую, которую описывает заданное уравнение.

Рассмотрим на примере

Покупка пива

Для покупки 8 кружек пива Рихарду не хватает 20 немецких марок, но если он купит всего 5 кружек пива, то у него останется еще 100 марок. Сколько денег у Рихарда? Для решения такой задачи нам потребуется составить уравнение. Мы не знаем, сколько стоит одна кружка пива, поэтому обозначим ее как x. Пусть y — это сумма денег в кошельке Рихарда, следовательно, y = 8x − 20, то есть 8 кружек пива минус 20 марок. Так же мы можем выразить эту же сумму денег как y = 5x + 100, то есть 5 кружек пива и 100 лишних марок. Так как это одна и та же сумма, мы можем составить следующее уравнение:

8x − 20 = 5x + 100.

А это стандартное линейное уравнение. Мы можем решить его как аналитически, так и графически при помощи нашего калькулятора. Для начала приведем его к стандартному виду, проведя первое тождественное преобразование.

  • 8x − 5 x = 100 + 20
  • 3x = 120
  • x = 40.

Для графического решения мы можем в строке 3x = 120 прибавить к левой и правой части произвольное число, чтобы заполнить все ячейки калькулятора. Прибавим с каждой стороны +10 и получим уравнение вида 3x + 10 = 130. Введем это уравнение в форму онлайн-калькулятора и получим прямую, которую описывает это уравнение. Значение y = 130 соответствует аргументу x = 40.

Таким образом, 1 кружка пива стоит 40 марок. Подставим это значение в уравнение и получим тождество:

  • 80 × 40 − 20 = 5 × 40 + 100
  • 300 = 300

Следовательно, в кошельке у Рихарда 300 немецких марок.

Заключение

Линейные уравнения – это не только раздел школьной математики. Такие равенства широко применяются для решения самых разных бытовых задач. Пользуйтесь калькуляторами из нашего каталога для проверки своих решений.