- Периметр: {$ result.p|number:4 $}
- Площать: {$ result.s|number:4 $}
Полигон — это фигура на плоскости, которая ограничена замкнутой ломанной кривой. Полигон может иметь самые разные формы или количество углов. Если все углы и все стороны фигуры равны, то многоугольник считается правильным, и наш калькулятор предназначен для вычисления периметра именно правильных полигонов (равносторонних треугольников, квадратов, пентагонов, гексагонов и так далее).
Геометрия многоугольника
Полигон может быть абсолютно любой формы: это и кремлевская звезда, и заплатка на ткани, и ковер на стене, и даже строгие буквы на вывеске. Все полигоны делятся на две большие группы:
- выпуклые, диагонали которых лежат внутри фигуры (все правильные многоугольники, а также треугольники, ромбы или трапеции);
- невыпуклые, диагонали которых выходят за рамки фигуры (звезды, буквы и любые формации, образованные замкнутой ломанной).
Кроме выпуклых n-угольников существует целый класс невыпуклых, но при этом правильных полигонов. Звездчатый многоугольник — это полигон, образованный диагоналями правильного многоугольника. Углы и стороны звездчатой фигуры равны, что соответствует критериям правильности. Например, диагонали пентагона (пятиугольника) образуют пентаграмму — наиболее известный звездчатый полигон. Кроме него, существуют также гексаграммы, октограммы и даже додекаграммы.
Построение правильного выпуклого полигона с n-количеством сторон оставалось нерешенной задачей для геометров вплоть до 19-го века. В Древней Греции Евклид разработал метод построения правильных полигонов при помощи линейки и циркуля: ученому удалось построить фигуры с количеством сторон n = 3, 4, 5, 6, 8, 12 и 15. Однако построить полигон с n > 15 никому не удавалось вплоть до момента, когда Карл Гаусс доказал теорему, что при помощи чертежных инструментов можно построить только полигоны с количеством сторон, равным числам Ферма. На данный момент это числа 17, 257 и 65 537.
Многоугольники в реальности
Правильные полигоны широко распространены в человеческой повседневности. К примеру, форму шестиугольника имеют сечения гаек или карандашей, семиугольника — некоторые британские монеты, а восьмиугольника — дорожные знаки. Геометрия — это искусство, поэтому самые разнообразные многоугольники вы легко найдете в дизайне, архитектуре или живописи.
Выпуклые полигоны встречаются и в живой природе. Так, шестиугольная форма сот позволяет пчелам максимально эффективно заполнять пространство улья. Помимо этого, целое разнообразие одноклеточных планктонных организмов под микроскопом выглядят как выпуклые n-угольники. В качестве природных многоугольников можно вспомнить снежинку, а также кристаллы, грани которых представляют различные полигоны.
Периметр многоугольника
Периметр — это сумма сторон фигуры. Так как у правильного полигона все стороны равны, то формула для вычисления периметра фигуры предельно проста:
P = a × n,
где a — длина стороны, n — количество сторон.
Однако в школьных или практических задачах нам не всегда будет дана длина стороны. Не беда, так как вокруг любой правильной геометрической фигуры можно описать окружность или вписать ее внутрь. Между стороной многоугольника и радиусами соответствующих окружностей существуют зависимости:
a = 2 tg (pi/n) × r
a = 2 sin (pi/n) × R
Следовательно, для вычисления периметра любого правильного n-угольника вам, кроме количества сторон n, потребуется узнать всего одну переменную:
- сторону a;
- радиус вписанной окружности r;
- радиус описанной окружности R.
Рассмотрим примеры для вычисления периметра полигональных фигур.
Примеры из реальной жизни
Школьный пример
Допустим, в задаче по геометрии требуется найти периметр додекагона, зная, что диаметр описанной около него окружности составляет 14 см. Додекагон — это правильный двенадцатиугольник, следовательно, n = 12. Радиус описанной окружности составит R = 7 см. Мы узнали все необходимое для определения периметра. Заполним соответствующие ячейки и вычислим:
P = 43,48
Помимо периметра, калькулятор также рассчитал длину одной стороны додекагона и радиус вписанной окружности.
Дорожный знак
Во многих странах дорожный знак Stop имеет форму октагона. Согласно Венской конвенции диаметр знака должен составлять 120 см. Как определить периметра, зная только этот параметр? Горизонтальный диаметр восьмиугольника — это диаметр вписанной в него окружности, следовательно, у нас есть параметр r = 60 см. Октагон — правильный восьмиугольник, поэтому n = 8. Нам осталось только заполнить соответствующие ячейки калькулятора и получить ответ:
P = 397,64
Калькулятор также вычислил сторону знака a = 49 см.
Заключение
Правильный многоугольник — часто встречаемая в повседневности фигура, так как правильным полигоном является не только пентагон или гексагон, но и квадрат или равносторонний треугольник. Для определения периметра любой правильной фигуры вам пригодится наш калькулятор, который мгновенно и без ошибок определит все атрибуты заданной фигуры.