- Периметр: {$ result.p|number:4 $}
- Площать: {$ result.s|number:4 $}
Треугольник — самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.
Особенности треугольника
Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики — тригонометрии.
Геометрия треугольника
Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.
Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:
- остроугольный — все углы фигуры острые;
- тупоугольный — у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
- прямоугольный — фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
- равнобедренный — треугольник с двумя равными сторонами;
- равносторонний — треугольник со всеми равными сторонами.
- В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.
Площадь треугольника
Площадь — это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:
S = 0,5 a × h,
где a — сторона треугольника, h — его высота.
Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:
- три стороны;
- две стороны и угол между ними;
- одну сторону и два угла.
Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),
где p — полупериметр треугольника.
Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:
S = a × b × sin(alfa),
где alfa — угол между сторонами a и b.
Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:
a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)
Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.
Примеры из жизни
Тротуарная плитка
Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:
S = 210
Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку — числа, которые удовлетворяют теореме Пифагора. И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.
Школьная задача
В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ
S = 18,8
При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.
Заключение
Треугольник — уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.
