Решение квадратных уравнений

Решить
* x +=
* x2 +* x +=
  • * x3 +
  • * x2 +
  • * x +
  • =
  • * x4 +
  • * x3 +
  • * x2 +
  • * x +
  • =
* x +* y +=
* x +* y +=
* x +* y +* z =
* x +* y +* z =
* x +* y +* z =
{$ error $}!
Результаты расчёта
A-1{$ result.IA[0][0]|number $}{$ result.IA[0][1]|number $}{$ result.IA[0][2]|number $}*{$ result.B[0][0]|number $}={$ result.x|number $}
{$ result.IA[1][0]|number $}{$ result.IA[1][1]|number $}{$ result.IA[1][2]|number $}{$ result.B[1][0]|number $}{$ result.y|number $}
{$ result.IA[2][0]|number $}{$ result.IA[2][1]|number $}{$ result.IA[2][2]|number $}{$ result.B[2][0]|number $}{$ result.z|number $}
  • x = {$ result.x|number $}
  • y = {$ result.y|number $}
  • z = {$ result.z|number $}
Результаты расчёта
  • x1 = {$ main.FormatResult(result.x1) $}
  • x2 = {$ main.FormatResult(result.x2) $}
  • x3 = {$ main.FormatResult(result.x3) $}
  • x4 = {$ main.FormatResult(result.x4) $}
Значение дискриминанта: b2 − 4 * a * c = {$ result.d|number $}

Квадратное уравнение – второй по сложности тип алгебраических равенств, с которыми встречается каждый школьник. При помощи нашего калькулятора вы можете найти корни любого квадратного уравнения и построить соответствующую ему параболу.

История квадратных равенств

Квадратные уравнения берут свое начало в Древнем Вавилоне. Еще в 20-м веке до нашей эры вавилонские ученые развязывали квадратные равенства для определения площадей земельных участков, использовали равенства в астрономических изысканиях, а также применяли древнюю геометрию в военном деле. Именно в работах индийских астрономов широко использовался алгебраический аппарат и квадратные уравнения для описания движения планет и определения далеких расстояний.

Типы квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это равенства вида:

ax2 + bx + c =0,

где a, b, c — коэффициенты уравнения.

Равенства такого типа называются полными квадратными уравнениями и на практике выглядят так:

  • x2 + 2x + 5 = 0, где a = 1, b = 2, c = 5;
  • 5x2 + 12x − 25 = 0, где a = 5, b = 12, c = −25.

Если коэффициент b = 0, то квадратное уравнение принимает вид:

ax2 + c = 0,

а если c = 0, то:

ax2 + bx = 0.

Такие равенства называются неполными квадратными уравнениями. Если же в уравнении a = 0, то квадрат икса исчезает из равенства, и оно принимает вид стандартного линейного уравнения.

Решение квадратных равенств

Такие уравнения решается по известному алгоритму, который знаком каждому школьнику. Для начала любое представленное уравнение следует привести к стандартному виду ax2 + bx + c = 0. Это требуется для того, чтобы правильно определить коэффициенты, необходимые для расчета корней уравнения. В общем виде корни квадратного равенства выглядят как:

  • x1 = (−b + sqrt(D)) / 2a,
  • x2 = (−b - sqrt(D)) / 2a.

Выражение sqrt(D) означает «квадратный корень из D», где D — дискриминант, который равен D = b2 − 4ac. Данное выражение получило собственное название благодаря тому, что от его значения зависит возможность решения заданного уравнения. Если:

  • sqrt(D) > 0, то уравнение имеет два действительных корня;
  • sqrt(D) = 0, то равенство имеет только одно решение или x1 = x2;
  • sqrt(D) < 0, то уравнение не разрешимо в действительных числах, но имеет комплексные корни.

Школьный курс алгебры гласит, что невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому при sqrt(D) < 0 квадратное уравнение не имеет решений. Однако мы знаем, что четные корни из отрицательных чисел представляют собой класс комплексных чисел. При sqrt(D) < 0 равенство имеет комплексные корни и наш калькулятор их рассчитывает, однако при выполнении школьных заданий достаточно указать, что уравнение не имеет решений.

Нюансы решения

Формула для определения корней предельна проста. Вначале определяется дискриминант, а после по известной формуле вычитываются корни уравнения. При решении таких заданий школьниками основная проблема состоит в правильном определении коэффициентов. Ребята теряют знаки или меняют местами сами значения, поэтому ученикам важно уметь определять, где в уравнении a, b, и c. Грамотное определение коэффициентов понадобится и при использовании нашего калькулятора, так как для решения уравнения требуется ввести равенство в стандартном виде:

ax2 + bx + c = 0.

Привести заданный в задаче пример к стандартному виду легко с использованием тождественных преобразований.

Тождественные преобразования применяются для решения любых типов уравнений: квадратные, показательные, логарифмические, тригонометрические или линейные практически всегда требуют начальных преобразований. Для решения квадратных уравнений достаточно использовать преобразования двух типов:

  • к каждой части уравнения можно прибавить или отнять любое выражение или число;
  • каждую часть равенства можно умножить или разделить на любое выражение или число.

Первое правило можно сформулировать и по-другому: уравнение не изменится, если его составляющие перенести через «равно» с заменой знака. Рассмотрим пример. Пусть в школьной задаче требуется решить уравнение:

4x − 2x2 = 5 − 3x.

Для того чтобы решить это уравнение вручную или при помощи калькулятора, его необходимо преобразовать. Во-первых, в правой части уравнения должен остаться ноль, а для этого нам потребуется перенести часть 5 − 3x через знак равенства с заменой знаков коэффициентов на противоположные. Получим следующее выражение:

4x − 2x2 − 5 + 3x = 0.

Очевидно, что 4x и 3x можно суммировать:

7x − 2x2 − 5 = 0.

На первый взгляд, можно начать решать, однако x2 стоит не на своем месте и легко перепутать значения a и b. Лучше переставить члены уравнения в порядке убывания степени икса:

−2x2 + 7x − 5 = 0

Приведя выражение к данному виду, мы можем его решить по стандартной формуле вручную или при помощи калькулятора. Главное – правильно определить коэффициенты и не потерять их знаки. Здесь a = −2, b = 7, c = −5.

Теперь следует посчитать дискриминант D = b2 − 4ac = 49 − 4×2×5 = 49 − 40 = 9 и найти корни уравнения: x1 = 1, x2 = 2,5.

Решать абстрактные уравнения не так интересно, поэтому давайте применим эти знания на практике.

Рассмотрим пример

Задача по геометрии

Есть прямоугольный треугольник, площадь которого составляет 30 квадратных сантиметров. Известно, что один из катетов на 7 см длиннее другого. Требуется найти все стороны треугольника. На первый взгляд сложная задача, но для ее решения мы используем алгебраический метод.

Из курса геометрии известно, что площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Пусть длина одного катета будет x, а вторая – (x + 7). Нам известна площадь, поэтому уравнение будет выглядеть как:

(x(x + 7)) / 2 = 30.

Применим второе тождественное преобразование и умножим обе стороны равенства на 2:

x(x + 7) = 60.

А теперь раскроем скобки и перенесем свободный член через знак равенства. Получим квадратное уравнение стандартного вида:

x2 + 7x — 60 = 0.

В данном примере a = 1, b = 7, c = – 60, D = 289, x1 = –12, x2 = 5. Очевидно, что длина катета не может быть отрицательным числом, поэтому в качестве решения данной задачи принимаем x2 = 5. Второй катет на 7 см больше, следовательно, он равен 12 см. Это целочисленные значения сторон прямоугольного треугольника, и благодаря теореме Пифагора или пифагоровым тройкам мы знаем длину и гипотенузы, равной 13 см.

Заключение

Квадратные уравнения – это не только тема скучной школьной математики. Подобные равенства находят широкое применение при решении бытовых и научных задач. Пользуйтесь нашими калькуляторами для непосредственного решения таких уравнений или для проверки своих выкладок.