Вычисление десятичного логарифма

Вычислить
или loga x
или ln x
или log x
Результат расчёта
{$ result|number $}

Логарифмирование — операция, которая обратна возведению в степень. Для решения задач на определение количества удесятирений применяются десятичные логарифмы.

Возведение в степень и логарифм

Мы знаем, что деление и умножение — это обратные математические операции. Если выражение A × B = C правдиво, то справедливо и выражение A = C / B или B = C / A. Для выражения со степенями все не так просто. Выражение AB = BA верно только для двух случаев: когда A и B равны единице или двойке. Во всех остальных случаях такое арифметическое выражение необратимо. Для решения показательных уравнений вида A x = B используются логарифмы.

Пусть у нас есть уравнение 3x = 9. Для решения такого уравнения достаточно задаться вопросом: в какую степень нужно возвести тройку, чтобы получить 9? Элементарно, во вторую. В данном случае x = 2. Изменим немного уравнение и представим, что 3x = 10. Здесь возникает сложный вопрос, как подсчитать икс, если это не целое число? Неизвестное в данном случае будет иррациональным числом, представить которое можно только с заданной степенью точности. Математики нашли элегантный способ для компактной записи таких значений. Решением уравнения 3x = 10 будет x = log 3 10. И все, этого достаточно.

Итак, логарифм log A B — это такое число, в которое требуется возвести A, чтобы получить B. A — это основание логарифма, и оно может быть любым положительным числом. Однако существует два особенных числа, для которых были введены собственные логарифмы. Это экспонента (e = 2,71828) и число 10. Логарифмы по основанию е носят название натуральных, а по основанию 10 — десятичных.

Понятие десятичного логарифма

Десятичный логарифм lgA — это такое число, в которое требуется возвести 10, чтобы получить число A. Из программы математики средней школы известно, что любое число можно представить в виде 10 a или простыми словами в виде десятки в некоторой степени. Это достаточно четко иллюстрируется примером, когда число кратно 10:

  • 100 = 102;
  • 1 000 = 103;
  • 10 000 000 = 107.

Но что делать, если через десятку требуется представить число 2077? Здесь на сцену выходят десятичные логарифмы. При помощи логарифма мы можем записать lg2077 и любому математику станет ясно, что это за иррациональное число. Вычислить это значение приблизительно можно следующим образом. Если lg1000 = 3, а lg10000 = 4, то 3 > lg2077 > 4. Так как 2077 значительно ближе к 1 000, чем к 10 000, то и значение логарифма также будет в районе тройки, например, 3,2. Подсчитать более точное значение можно при помощи онлайн-калькулятора, которое будет равно lg2077 = 3,317436... Вычислить точное значение такого логарифма невозможно, так как оно иррационально и бесконечно.

История логарифмов

Потребность в логарифмировании возникла в 16-м веке, когда в Европе набирали обороты производство, торговля и мореплавание. Именно тогда бухгалтера и астрономы, математики и мануфактурщики столкнулись с проблемой громоздких вычислений, на решение которых уходило много времени и сил. Ученые постоянно возводили в степень и вычисляли корни, но сложность расчетов замедляла прогресс. Именно тогда математикам пришла идея заменить сложные вычисления степеней и корней на соответствующие операции умножения и деления, а затем — сложения и вычитания. Подобный ход конем позволил ученым производить операции поиска корней и возведения степень над огромными числами, складывая и вычитая при этом соответствующие логарифмы.

Первые логарифмические таблицы были созданы в 1614 году шотландским математиком Джоном Непером. Непер был профессиональным математиком, он занимался астрономией и не понаслышке знал о сложностях астрономических расчетов. Позднее знаменитый физик и астроном Пьер-Симон Лаплас говорил, что возникновение логарифмов значительно уменьшило вычислительный труд астронома и удвоило его жизнь. Логарифмические таблицы со временем совершенствовались и в итоге стали универсальным инструментом для громоздких вычислений. Математики старой школы до сих пор используют логарифмические линейки и считают в уме с такой же скоростью, с какой работают современные калькуляторы.

Если вы не застали времена, когда каждый математик имел в своем арсенале логарифмическую линейку и не умеете ими пользоваться, то предлагаем вам наш онлайн-калькулятор. Данная программа предназначена для вычисления любых логарифмов, в том числе и десятичных. Для расчетов вам потребуется выбрать в меню тип «Десятичный» и ввести значения в соответствующие ячейки. Калькулятор может вычислить собственно десятичный логарифм для числа X или вернуть значение числа X, если известен его логарифм.

Пример работы калькулятора

Расчет логарифмов

Обычно десятичные логарифмы используются для отображения графиков функций, которые имеют как очень малые, так и очень большие значения. Например, функция отображения громкости звука содержит как значения в диапазоне от 1 до 10, так и значения от 100 до 1 000 и от 1 000 до 10 000. Компактно уместить это на одном графике и разглядеть все значения громкости звука можно только при помощи логарифмической шкалы, в которой значения заменены десятичными логарифмами:

  • 1 — lg10;
  • 2 — lg100;
  • 3 — lg1000;
  • 4 — lg10000.

Эти значения легко вычислить при помощи калькулятора. Для рассчетов потребуется поочередно ввести в ячейку «Число» значения 10, 100, 1 000 и 10 000. При помощи таких значений на графике можно будет рассмотреть и маленькие значения от 1 до 10 и большие до 10 000.

Заключение

Десятичный логарифм — удобный математический инструмент, облегчивший жизнь многим поколениям математиков. Наш онлайн-калькулятор пригодится для вычислений выражений, которые содержат десятичные логарифмы.