Калькулятор геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — ненулевая числовая последовательность, образованная в результате умножения каждого последующего члена на заданный коэффициент не равный нулю.

Определение последовательности

Прежде чем разбираться с прогрессией, следует понять определение числовой последовательности и закона, которым она задается. Вспомним натуральный ряд — первую числовую последовательность, которую мы изучаем еще в детском саду. Это целые числа, используемые для пересчета предметов. Начало выглядит так:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n

Если каждому числу натурального ряда поставить в соответствие другое число, образованное согласно определенной формуле, мы получим новую последовательность:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 … an

Число an — общий член последовательности и закон, образующий элементы ряда. Очевидно, что формула задания натурального ряда это просто n. Для последовательности четных чисел каждый элемент и общий член задается формулой 2n, а для нечетных — 2n − 1.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Рассмотрим для начала арифметическую прогрессию, которая также является числовой последовательностью. Каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, суммированному с постоянным коэффициентом. Формула арифметической прогрессии представляет собой закон:

an = a1 + d × (n − 1),

где a1 — первое число ряда, d — разность прогрессии.

Простыми словами, каждый член прогрессии больше предыдущего на какое-либо число. К примеру, последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией с разностью d = 1.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждый последующий член которой равен предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент q. Формула такого ряда выглядит как:

bn = b1 × q^{(n − 1)},

где b1 — первый элемент ряда, q — знаменатель прогрессии.

Проще говоря, каждый последующий член прогрессии больше предыдущего в q раз. К примеру, логарифмическая шкала для отображения графика величин на больших промежутках выглядит как:

1, 10, 100, 1000, 10000, 100000…

Очевидно, что каждый последующий элемент больше предыдущего в 10 раз. Кроме того, к геометрическим прогрессиям относятся последовательности квадратных (q = 2) и кубических (q = 3) чисел.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если знаменатель геометрической прогрессии находится в диапазоне 0 < q < 1, то элементы последовательности постепенно убывают, а сумма ряда сходится к определенному значению. Сумма членов бесконечно убывающей прогрессии определяется по простой формуле:

S = b1 / (1 – q).

Существуют разные числовые последовательности, которые представляют собой арифметические или геометрические прогрессии. Одним из интересных рядов считается прогрессия вида:

π, π, π, π, π…

П — это всемирно известная математическая константа «пи», приблизительно равная 3,1415926. Последовательность из π переставляет собой одновременно арифметическую прогрессию с d = 0 и геометрическую прогрессию с q = 1.

История и применение прогрессий

Одним из первых проявлений геометрической прогрессии в реальности стало использование системы гирь в купеческом деле. Леонардо Фибоначчи занимался вопросом оптимизации количества гирь для взвешивания любого количества товара. Он пришел к выводу, что лучшего всего использовать меры со значением 1, 2, 4, 8, 16,.. что является прогрессией с q = 2.

Сегодня геометрическая прогрессия играет важную роль в расчете банковских депозитов. При оформлении денежного депозита под 11 % в год, вкладчик ежегодно будет получать прибыль в размере 1,11 от предыдущей суммы на банковском счету (q = 1,11). Например, если изначальный вклад составляет $1 000, то через год на счету вкладчика будет $ 1 110, через два — $1 232, а через три года $1 367. Данная формула в банковском деле носит название сложных процентов.

Еще одни примером работы геометрической прогрессии является эпидемическое распространение гриппа. К примеру, один больной за сутки может заразить 12 человек, каждый из 12 также заразит еще 12 человек, поэтому на второй день будет 144 больных, на третий — 1 728, а на четвертый — 20 736.

Наша программа генерирует геометрическую прогрессию выбранной величины. Для этого вам потребуется ввести значение первого члена в ячейку «Первое число», знаменатель прогрессии в ячейку «Разница (шаг)» и количество элементов последовательности в ячейку «Последнее число». После этого программа предоставит числа, соответствующие закону геометрической прогрессии.

Рассмотрим на примере

Денежная игра по почте

Во времена СССР существовала афера, основанная на принципе геометрической прогрессии. Суть аферы в следующем. Люди получали письма с указанием 5 адресов и инструкцией:

• разослать по адресам по 1 рублю;
• вычеркнуть первый адрес и пятым вписать свой;
• разослать письма-приглашения с указанными адресами своим друзьям и знакомым.

Авантюристы предоставляли логичное объяснение механизма обогащения. Действительно, если приглашенные вами люди пришлют по 1 рублю, то вы вернете потраченные деньги. Пять приглашенных участников игры разошлют письма своим друзьям, в которых ваш адрес указан под номером 4. Количество таких писем уже 25, а следующая волна приглашенных пришлет вам в сумме 25 рублей. После чего 25 человек разошлют по 5 писем, где ваш адрес стоит третьим и это уже 125 конвертов по 1 рублю в каждом.

Сколько же денег обещали аферисты по окончанию круга приглашений? Ответ лежит в простой геометрической прогрессии. По их версии пройдет 5 волн приглашений с вашим адресом. Так как единицу мы не учитываем, а начинаем с 5 писем, то последнее число у нас будет равно 6. Первое, естественно, 1. Шаг нашей геометрической прогрессии составляет 5. Вбиваем эти данные в ячейки калькулятора и получаем последовательность:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

сумма элементов последовательности при этом составляет 3906. Именно прибыль в 3906 рублей обещали аферисты доверчивым гражданам. Естественно, что на практике все деньги уходили организаторам игры, так как на первом шаге аферисты отправляли не одно письмо, а сотни, в которых были указаны их собственные адреса. Даже если на первом шаге мошенники отправят всего 200 писем, то уже на пятом шаге в игру должны включиться 625 000 человек, а организаторы получат от них более 700 000 рублей. Дальнейшие шаги уже не имеют смысла.

Заключение

Геометрическая прогрессия часто встречается в реальности. Пользуйтесь нашим каталогом калькуляторов для решения интересных задачек или для проверки учебных примеров.