Калькулятор дзета-функции Римана и Тождества Эйлера

Результат расчёта
Приближённое значение дзета: {$ result|number:8 $} (20 000 итераций, n)

Дзета-функция Римана — одна из самых известных формул чистой математики, с которой связана знаменитая неразрешенная математическая проблема — гипотеза Римана. Калькулятор дзета-функции позволяет вычислить ее значения для аргументов, лежащих в пределах от нуля до 1.

Историческая справка

История дзета-функции Римана начинается с гармонического ряда, открытого еще пифагорейцами, который выглядит как:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ... 1/n

Ряд получил свое название благодаря утверждению, что струна, разделенная надвое, натрое или более, издает звуки, советующие математической гармонии. Чем большее количество членов гармонического ряда, тем больше его значение. Говоря строгим математическим языком, это означает, что ряд расходится и стремится к бесконечности.

Известный математик Леонард Эйлер работал с гармоническим рядом и вывел формулу для определения суммы заданного количества членов последовательности. В процессе работы он заинтересовался другим рядом, который был известен с древних времен, однако сегодня носит имя Эйлера. Дроби эйлерового ряда в знаменателях содержат квадраты, а первые члены последовательности выглядят так:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25... 1/n2

Удивительно, однако, при увеличении количества членов ряда, сумма выражения асимптотически приближается к определенному значению. Следовательно, ряд сходится, а его значение стремится к константе, равной (Pi2)/6 или 1,64488. Если в знаменатели поставить кубы:

1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125... 1/n3

то ряд вновь сходится, но уже к значению 1,20205. В общем виде мы можем представить степенной ряд как дзета-функцию вида:

Z(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + 1/5s

С увеличением степени и количества членов ряда значение функции будет стремиться к единице и для степеней выше 30 выражение Z(s) = 1, следовательно, такой ряд сходится. Вычисление значения ряда при 0>s>1 показывает, что во всех этих случаях функция имеет различные значения, а сумма членов ряда при стремлении к бесконечности постоянно увеличивается, соответственно, ряд расходится.

В гармоническом ряду показатель степени равен единице и ряд также расходится. Однако как только s принимает значение больше единицы, то ряд сходится. Если же меньше — то расходится. Из этого следует, что гармонический ряд находится строго на границе сходимости.

Дзета-функция Римана

Эйлер работал с целыми степенями, однако Бернхард Риман расширил свое понимание функции на действительные и комплексные числа. Комплексный анализ показывает, что дзета-функция имеет бесконечное количество нулей, то есть бесконечное количество значений s, при которых Z(s) = 0. Все нетривиальные нули представляют собой комплексные числа вида a + bi, где i — мнимая единица. Наш онлайн-калькулятор позволяет оперировать только с действительными аргументами, поэтому значение Z(s) всегда будет больше нуля.

Например, Z(2) = (Pi2)/6, и этот результат рассчитал сам Эйлер. Все значения функции для четных аргументов содержат число Пи, однако расчет для нечетных чисел слишком сложен для представления результата в замкнутом виде.

Гипотеза Римана

Леонард Эйлер использовал функцию Z(s) при работе с теоремой о распределении простых чисел. Риман также ввел эту функцию в своей диссертационной работе. Труд содержал метод, позволяющий подсчитать количество простых чисел (делящихся только на себя и на единицу), которые встречаются в ряду до определенного предела. По ходу работы Риман сделал замечание, что все нетривиальные (то есть, комплексные) нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2. Ученый так и не смог вывести строгое доказательство данного утверждения, которое со временем превратилось в Священный Грааль чистой математики.

Строгое доказательство гипотезы Римана обещает пролить свет на распределение простых чисел, над которым математическое сообщество бьется с античных времен. На сегодняшний день рассчитано более полутора миллиардов нетривиальных нулей дзета-функции, и они действительно располагаются на линии x = 1/2. Однако, ни теория о распределении неделимых чисел, ни гипотеза Римана на данный момент не разрешены.

Наш калькулятор позволяет рассчитывать значение Z(s) для любых действительных s. Вы можете использовать целые и дробные, положительные и отрицательные значения аргумента. При этом целые положительные s всегда будут давать результат близкий или равный единице. Значения 0>s>1 всегда приводят к тому, что дзета-функция принимает разные значения. Отрицательные значения s обращают ряд в:

1 + 1s + 2s + 3s + 4s...

Очевидно, что при любом отрицательном s ряд расходится и резко устремляется в бесконечность. Рассмотрим численные примеры значения Z(s).

Примеры вычислений

Давайте проверим наши выкладки. В вычислениях программа использует 20 тысяч членов ряда. Определим при помощи калькулятора значения Z(s) для положительных аргументов больше единицы:

  • при s = 1 выражение Z(s) = 10,48;
  • при s = 1,5 выражение Z(s) = 2,59;
  • при s = 5 выражение Z(s) = 1,03.

Рассчитаем значения дзета-функции для 0>s>1:

  • при s = 0,9 выражение Z(s) = 17,49.
  • при s = 0,5 выражение Z(s) = 281,37;
  • при s = 0,1 выражение Z(s) = 8 253,59.

Рассчитаем значения Z(s) для s<0:

  • при s = -0,5 выражение Z(s) = 1 885 547.
  • при s = -1 выражение Z(s) = 199 999 000;
  • при s = -3 выражение Z(s) = 39 996 000 100 000 010;

Очевидно, что при небольшом изменении s от единицы в большую сторону функция начинает медленное, но неуклонное движение к Z(s) = 1. При изменении аргумента от единицы в меньшую сторону функция принимает все большие и большие значения и устремляется в бесконечность.

Заключение

Дзета-функция Римана и связанная с ней гипотеза — одна из наиболее популярных открытых проблем современной математики, над решением которой ученые бьются уже более 150 лет. Доказательство гипотезы Римана позволит математикам сделать большой прорыв в теории чисел, что, несомненно, приведет научное сообщество к еще большим открытиям.