Векторы — целый класс математических объектов, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Векторы широко используются в научных исследованиях и современных технологиях.
Понятие вектора
Геометрически вектор — это направленный отрезок, у которого заданы начало и конец. Такие математические объекты необходимы для описания физических величин или явлений, которые имеют направление. Например, масса, объем или площадь характеризуются абсолютным значением в килограммах, кубометрах или гектарах, но они не имеют никакого направления. Такие величины называются скалярными. А вот восточный ветер, дующий со скоростью 5 м/с — это направленная величина и для ее обозначения используется вектор.
К векторным величинам относятся скорость, ускорение, сила, поток, импульс или напряженность. Любая векторная величина имеет точку приложения, величину (модуль) и направление. К примеру, ускорение всегда прикладывается к центру масс, направлено перпендикулярно к поверхности земли и имеет модуль, равный 9,81 м/с². Существует и другое понятие вектора. Пусть велосипедист отправился из пункта A в пункт B. Конечное расстояние, которое преодолел велогонщик, и представляет собой вектор AB.
Сложение и вычитание векторов
С самого начала мы привыкли к арифметическим операциям со скалярными величинами, то есть с числами. Числа можно складывать и умножать, вычитать и делить, сравнивать между собой, раскладывать на множители, классифицировать и находить интересные зависимости. Вектор — новый математический объект, с которым точно также можно проводить различные операции.
Как и в случае с числами, существуют своеобразные нули и единицы аналитической геометрии. Единичный вектор, он же орт — это направленный отрезок, модуль которого равен единице. Орт часто выбирают в качестве базисного вектора, что значительно упрощает выкладки. Нулевой вектор — это отрезок, длина которого равна нулю, то есть точка. Начало и конец такого отрезка совпадают, а сам нулевой вектор необходим для элегантного решения задач, так как любая операция с вектором в результате должна давать вектор.
Вектор — это предмет изучения аналитической геометрии. Школьная геометрия представляет собой множество теорем, доказательств, чертежей и графических выкладок. Аналитическая геометрия — другое дело. Когда мы думаем о решении задачи, то перед нами стоит два пути: найти ответ графическим или аналитическим путем, то есть применить аппарат геометрии или алгебры. Аналитическая геометрия позволяет исследовать фигуры методами алгебры, поэтому решение векторных задач сводится к применению элегантных формул.
В отличие от чисел, векторы нельзя делить или сравнивать друг с другом. Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует, так как они могут быть направлены в разные стороны. Деление вектора на вектор дает в результате бесконечное количество ответов, следовательно, такая операция бессмысленна. А вот суммировать направленные отрезки можно и нужно. Сумма двух векторных величин — это некий третий вектор. Найти его можно тремя способами.
Аналитическое решение
Данный способ подходит в случаях, если известны координаты точек начала и конца векторов. Для суммирования векторных величин необходимо сложить соответствующие координаты точек. Если у нас есть вектор x = (x1; x2) и y = (y1; y2), то результирующий вектор z будет равен:
z = x + y = (x1 + y1; x2 + y2).
Элементарно. Если нам требуется найти разность, то формула для решения идентична:
z = x − y = (x1 − y1; x2 − y2).
Данная формула используется для сложения/вычитания векторов на плоскости. Если вектор находится в пространстве, то добавляется дополнительная координата. Следующие два правила используются для графического решения задач аналитической геометрии.
Правило треугольника
Данное правило используется в случае, если суммируются вектора, отложенные последовательно друг за другом. Это означает, что начало вектора y является одновременно концом вектора x. Суммирующий вектор z в этом случае соединяет начало одного направленного отрезка с другим.
Правило параллелограмма
Этот прием применяется в ситуациях, когда суммируются вектора, исходящие из одной точки. Это значит, что начало вектора x совпадает с началом вектора y, а результирующий вектор z является диагональю параллелограмма, образованного векторами x и y.
Наша программа представляет собой калькулятор, при помощи которого вы можете сложить/вычесть два плоских или пространственных вектора. Алгебраическая операция выполняется по координатам точек направленного отрезка, после чего программа отрисовывает графическое решение по правилу параллелограмма. Для сложения двух векторов вам понадобится ввести в ячейки координаты точек начала и конца каждого отрезка, после чего сделать всего один клик мышкой. Для вычитания векторов достаточно изменить тип операции в меню калькулятора. Рассмотрим на примере.
Примеры операций векторами
Пусть у нас есть два пространственных отрезка, которые задаются координатами x = (1; 2; 3) и y = (7; 8; 9). Введем эти данные в форму и рассчитаем:
- результирующий отрезок z для суммы x и y, равен z = (8; 10; 12);
- результирующий вектор z для разности x и y, равен z = (-6; -6; -6).
Это абстрактный пример, не имеющий привязки к практической задаче. Одной из занятных иллюстраций к сложению векторов выступает басня Крылова о лебеде, раке и щуке. Животные прикладывали к возу силы, которые в свою очередь являются векторными величинами. Однако эти вектора были разнонаправленными и при сложении превращались в нулевой вектор. Результирующая сила была равна нулю, поэтому воз и ныне там.
Заключение
Векторы используются для обозначения величин, которые имеют направление, поэтому в реальной жизни мы часто встречаемся с явлениями, которые в физике описываются при помощи направленных отрезков. Благодаря калькулятору вы сможете сложить или вычесть два плоских или пространственных вектора и получить графическую иллюстрацию этой операции.
