Квадратное треугольное число — это число, которое является одновременно и квадратным, и треугольным. Определение выглядит непонятно и очевидно, поэтому важно разобраться, что представляют собой эти категории чисел.
Квадратные числа
Античные ученые пифагорейской школы выражали математические объекты точками. Представьте одну точку. Пифагорейцы считали единицу самым важным числом, и такая точка становилась для них нульмерным кубом. Двухмерный куб, он же квадрат, легко нарисовать, если соединить четыре точки. Однако такие квадраты можно увеличить и заполнить их плоскость другими точками. Вот так:
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Мы получили элегантный квадрат из 16 точек. Такие же фигуры можно составить из 9 точек или 36. Или 256. Если добавлять точки по контуру фигуры мы будем формировать все новые квадраты. Последовательность таких чисел устремляется в бесконечность, а сами числа называются квадратными. Начало квадратной последовательности выглядит так:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196…
Пифагорейцы расширили свое «точечное» видение и на другие математические объекты, а сами числа стали называть фигурными.
Треугольные числа
Если рисовать треугольники при помощи точек, то они становятся похожи на горки камней. Нульмерный симплекс опять представляется в виде точки. Двухмерный симплекс, он же треугольник, строится из трех точек, который, как и в случае выше, мы можем легко расширить. Если добавить точки по контуру, фигура будет выглядеть так:
.
. . .
. . . . . .
Мы построили треугольник из десяти точек. Такие же треугольники легко построить из 15 точек или 36. Последовательность треугольных чисел устремляется в бесконечность, а ее начало выглядит так:
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105…
Треугольная последовательность примечательна тем, что с ее помощью легко выстраивать объекты в аккуратные треугольники. Если нам потребуется сложить из кубиков равносторонний треугольник, то треугольные числа подскажут нам, сколько элементов необходимо разместить в каждом ряду. Кроме того, следующее число в ряду для первых трех чисел говорит о том, сколько всего точек или объектов понадобится для построения треугольника. В примере выше очевидно, что точки в каждом ряду фигуры расположены в количестве 1, 3 и 6, а всего точек 10.
Связь треугольных и квадратных чисел
Давайте поближе посмотрим на эти две последовательности:
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64
Во-первых, если сложить два рядом стоящих треугольных числа, мы получим квадратное. Очевидно, что:
- 3 + 6 = 9,
- 6 + 10 = 16,
- 10 + 15 = 25,
- 15 + 21 = 36.
Во-вторых, в обеих последовательностях есть числа 0, 1, 36. Они то и называются квадратными треугольными числами. Существует бесконечное количество таких чисел, а их последовательность выглядит как:
0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881…
Последовательность быстро растет и простирается в бесконечность. К примеру, всего лишь двенадцатый член ряда выглядит как 73 804 512 832 419 600.
Использование фигурных чисел в современной математике
Квадратные треугольные числа объединяют в одно целое арифметику, геометрию и топологию. Изучение особенностей фигурных чисел позволяют использовать их при моделировании реальных объектов или при создании многоуровневых моделей принятия решений. Помимо квадратных или треугольных чисел существуют также их трехмерные версии — пирамидальные и тетраэдрические. Трехмерные фигурные числа находят применение при построении кластеров кристаллических структур.
Фигурные числа в реальной жизни
Квадратные и треугольные числа часто встречаются в человеческой повседневности, однако их мало кто замечает. Например, построение военных на параде строится по принципу квадратных чисел, а известное боевое построение «свинья» представляет собой комбинацию треугольника (клин) и прямоугольников (фаланги). Кроме того, на авиашоу легко заметить построения самолетов по принципу фигурных чисел.
Калькулятор расчета квадратного треугольного числа
Наша программа позволяет определить n-ный член ряда квадратных треугольных чисел. Очевидно, что члены последовательности — огромные числа, поэтому большинство их них будут представлены в экспоненциальной записи. К примеру, 25 член ряда записывается как 5,921e+36. Для определения любого члена последовательности вам потребуется ввести его порядковый номер в ячейку калькулятора.
Заключение
Фигурные числа — элегантные построения, связанные с геометрическими фигурами и обладающие интересными свойствами. Квадратные треугольные числа позволяют визуализировать такие математические операции как возведение в квадрат и куб. Используйте наш калькулятор для поиска чисел из квадратично-треугольной последовательности.
