Тетраэдрические числа — это тип фигурных чисел, которые арифметически представляют правильную треугольную пирамиду. Фигурные же числа относятся к ряду натуральных чисел, при помощи которых можно выразить некоторые геометрические фигуры или тела.
Точечное представление чисел
Античные ученые, в том числе и пифагорейцы, мыслили числа зримо. В те времена математика не была абстрактной, поэтому числа представлялись в виде камешков, разложенных на песке или счетной доске — абаке. Именно поэтому древние греки не представляли себе нуля, так как его нельзя было выложить при помощи камешков на абаке. Единица в те далекие времена также не считалась отдельным числом: пифагорейцы представляли единицу как числовой атом — самое маленькое число, при помощи которого формируются все остальные числа. Однако камешки выражали не только сами натуральные числа.
При помощи камней выкладывались и геометрические фигуры. Для выкладывания разных типов фигур требовалось разное количество камешков. Треугольник составляли из трех камней, соединенных линиями на песке. Точно также выкладывались квадрат или шестиугольник. Подсчитывая эти камни, математики составляли последовательности чисел, которые получили название фигурных.
Типы фигурных чисел
Древние греки разделяли фигурные числа на следующие виды:
- линейные — ряд простых чисел, которые делятся без остатка только на себя и единицу;
- плоские — ряд чисел, выкладывая камешки из которых математики создавали правильные геометрические фигуры (равносторонний треугольник, квадрат или пентагон);
- телесные — последовательность чисел, при помощи которых из камешков собирались пространственные тела (пирамиды, кубы, тетраэдры).
Для выкладывания из камней или шаров правильного тетраэдра понадобилось бы 1, 4, 10 или 20 элементов. Чем выше становился тетраэдр, тем больше требовалось шаров:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220…
Это и есть знаменитые тетраэдрические числа.
Свойства тетраэдрической последовательности
Тетраэдрический ряд формируется из чисел, которые равны количеству сфер, необходимому для построения правильной треугольной пирамиды. Номер члена ряда соответствует длине стороны пирамиды. Например, для построения тетраэдра с длиной стороны 8 потребуется количество элементов, равное восьмому члену последовательности, то есть 120.
Тетраэдрический ряд связан с последовательностью треугольных чисел. Это означает, что n-ный член тетраэдрической последовательности численно равен сумме n членов треугольного ряда. Например, шестое тетраэдрическое число равно 56. Сумма первых шести членов треугольного ряда составляет 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56. При помощи связи этих двух рядов легко выстраивать правильные треугольные пирамиды с любой длиной стороны.
Тетраэдрический ряд также связан с треугольником Паскаля — элегантной последовательностью, члены которой формируются по принципу сложения соседних чисел на ряд выше. Треугольник Паскаля представляет собой бесконечную расширяющуюся таблицу. Первая диагональ таблицы состоит из единиц, вторая является последовательностью натуральных чисел, третья — треугольных чисел, а четвертая — тетраэдрических.
Последовательность тетраэдрических чисел направлена в бесконечность. Если в практической задаче вам понадобится узнать сотый член последовательности, то отыскивать нужный номер вручную не всегда удобно. Наш онлайн-калькулятор позволяет определить любой член тетраэдрической последовательности. Для этого достаточно ввести его номер в форму и получить мгновенный ответ.
Пример из реальной жизни
Укладка апельсинов
Если мы хотим сложить апельсины в форме правильного тетраэдра, в этом нам помогут числа из тетраэдрической и треугольной последовательности. Если наша апельсиновая пирамидка должна быть высотой в 5 апельсинов, то для ее построения понадобится 35 фруктов, так как 35 — это пятый член последовательности. Фрукты следует выложить в правильные треугольники при помощи треугольных чисел. Ряд треугольных чисел выглядит как:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45.
Таким образом, выкладывая апельсины в треугольники в количестве 21, 15, 10, 3, 6 и 1 мы выстроим правильный тетраэдр. Используя математические закономерности, мы можем аккуратно выложить фрукты в пирамиду произвольной высоты, так как тетраэдр — устойчивое геометрическое тело. В этом вопросе мы ограничены только размерами помещения или неудобством укладки верхних рядов.
Заключение
Фигурные числа занимают в математике большое значение. Данные последовательности естественным образом возникают в природе, а также применяются при построении реальных объектов определенной геометрической формы. Используйте нашу программу для нахождения выбранных членов тетраэдрической последовательности.
