Квадратные пирамидальные числа — это вид фигурных чисел, которые иллюстрируют количество сфер, необходимое для укладки пирамиды с квадратным основанием. Фигурные числа относятся к натуральному множеству и используются при построении геометрических фигур или объемных тел (треугольников, квадратов, тетраэдров или квадратных пирамид).
Зримое представление чисел
Во времена Пифагора арифметика не была абстрактным предметом, поэтому числа представлялись при помощи камней на счетной доске. Видение чисел в виде определенного количества элементов является самым простым для понимания, поэтому дети до сих пор учат азы арифметики при помощи счетных палочек. Но вернемся к древности. Выкладывая камни в определенной последовательности, пифагорейцы формировали геометрические фигуры: треугольники или квадраты. Им было понятно, что для формирования треугольника достаточно взять три камня и соединить их линиями на песке. Однако такие треугольники можно выкладывать и при помощи 6 камней или 10 или даже 56. Для построения квадрата требовались 4, 9, 16 или 256 камней.
Фигурные числа
Древние греки не остановилась на плоских фигурах. Придавая объем квадрату, они выкладывали пирамиды — устойчивые тела, которые не разваливались от легкого дуновения ветра в отличие от куба, неустойчивого при таком способе построения. Для создания квадратных пирамид геометры использовали квадратные числа и укладывали определенное количество камней один на другой. Последовательность квадратных чисел следующая:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…
Последовательности фигурных чисел всегда начинаются с единицы, ведь нуль нельзя мыслить зримо, так как невозможно представить ничто. При помощи квадратного ряда легко выложить пирамиду так же, как это делали пифагорейцы.
Для постройки самой простой пирамидки греки использовали 4 камня в основании и 1 на вершине, итого — 5. Более высокая пирамида строилась при помощи 9 камней в качестве фундамента, сверху укладывались 4 камня, а затем 1, итого — 14. Для построения устойчивой пирамиды высотой в 4 камня нам понадобилось уложить сначала 16 элементов, затем 9, 4 и 1, что в сумме дает 30. Таким образом, для построения пирамидальных фигур заданной высоты нам понадобилось бы соответствующее количество элементов:
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240…
Это и есть последовательность квадратных пирамидальных чисел. На практике ряд используется для укладки элементов в форме квадратных пирамид. Например, если вы захотите сложить пушечные ядра в стройную пирамиду высотой в 10 ядер, то вам понадобится 385 снарядов для реализации этой задумки.
Связи пирамидального ряда с другими фигурными числами
Из примера выше очевидно, что пирамидальный ряд напрямую связан с квадратной последовательностью: n-ное пирамидальное число равно сумме предыдущих n членов квадратного ряда. Также пирамидальные числа связаны с тетраэдрическим рядом, который применяется для построения треугольных пирамид. Первые члены тетраэдрической последовательности выглядят так:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816…
Очевидно, что каждый член пирамидальной последовательности под номером n равен сумме элементов тетраэдрического ряда под номерами n и n-1.
Ряд квадратных пирамидальных чисел устремляется в бесконечность. На практике вам может понадобиться узнать 245-й или 567-й член последовательности. Использовать таблицы для поиска таких чисел неудобно. При помощи онлайн-калькулятора вы можете определить значение любого члена последовательности. Для этого потребуется вбить номер элемента в ячейку калькулятора и увидеть мгновенный результат.
Пример из реальной жизни
Укладка яблок
Для удобства и приятного визуального восприятия фрукты в супермаркетах выкладывают в виде квадратных пирамид. Если вы захотите точно также выложить яблоки пирамидой высотой в 7 фруктов, то для этого вам понадобится узнать первые 7 членов квадратной последовательности, а также значение 7-го элемента пирамидального ряда. Первые 7 членов квадратного ряда выглядят так:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49
Это означает, что вам понадобится выкладывать основание пирамиды и подниматься вверх, укладывая фрукты в количестве, начиная с самого большого числа и постепенно их уменьшая: сначала 49, затем 36 и так до 1. Теперь узнаем, сколько всего яблок вам потребуется. Введите в ячейку калькулятора число 7 и увидите результат: нам понадобится 140 яблок для построения фруктовой пирамиды. Если вы хотите построить более высокое сооружение, то введите предполагаемую высоту, измеренную в количестве элементов. Для построения пирамиды высотой в 20 яблок вам потребуется 2 870 плодов.
Заключение
Фигурные числа занимают в реальности важное место. При помощи них можно как построить здание, так и выстроить солдат на плацу. Фигурные ряды естественным образом возникают в математике и связаны между собой. Используйте наши калькуляторы для определения значений любых членов фигурных последовательностей.
