Калькулятор последовательности Кимберлинга

В чистой математике существует множество абстрактных объектов, которые редко находят применение в реальной жизни. Последовательность Кимберлинга — один из объектов высокой математики, разработанный Кларком Кимберлингом.

Числовые последовательности

Последовательностью называется упорядоченный набор элементов числового пространства. Термин «ряд» означает сумму членов соответствующей ему последовательности, и в популярной литературе используется как синоним. Числовые наборы отличаются огромным многообразием. Первая упорядоченная серия чисел, которую мы изучаем еще в раннем детстве — это натуральный ряд. Натуральные числа используются для счета предметов, а сам ряд выглядит как:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n

Предельно просто. Если записать такой ряд строгим математическим языком, то закон формирования этой серии чисел выглядит как n. Из этой последовательности мы можем выделить другие, например, ряд четных чисел, который выгляди как:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 … 2n

а также набор нечетных:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 … 2n – 1

Законы задания последовательности принимают вид 2n для четной и 2n – 1 — для нечетной. Однако не для каждой серии чисел можно задать закон. К примеру, ряд простых чисел, первые члены которого выглядят как:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

невозможно абсолютно точно задать при помощи закона. Леонард Эйлер предложил закон вида n² – n + 41, и он верен только для первых сорока членов простого ряда. Существует множество многочленов, которые описывают некоторую часть последовательности простых чисел, однако, так как научное сообщество до сих пор не знает, есть ли у нее предел, точного закона до сих пор не выведено. Последовательность Кимберлинга также относится к рядам, которые не имеют четкого буквенного закона, а строятся по заданному алгоритму.

Последовательность Кимберлинга

Кларк Кимберлинг — американский математик, профессор университета Эвансвиля. Кимберлинг известен тем, что заведует энциклопедией центров треугольника, которая на данный момент включает более 6 000 замечательных точек треугольника. Профессор Кимберлинг также сформировал сложную последовательность, которая сегодня носит его имя. Рассмотрим алгоритм ее построения.

Алгоритм последовательности Кимберлинга

Для построения заданного набора чисел на основе натурального ряда для i-го количества элементов необходимо:

• на i-той итерации отбросить i-й элемент;
• поменять местами элементы с номерами i + k и i – k столько раз, пока не будет выполнено условие k = i;
• дописать оставшиеся элементы натурального ряда.

Если говорить простыми словами, то последовательность Кимберлинга строится следующим образом. Запишем первые 10 членов натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

На первой итерации i = 1 отбросим первый элемент, то есть 1. Запишем полученный ряд под исходным:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

На второй итерации i = 2 выбрасываем второй элемент из набора, то есть 3, выделим ее жирным шрифтом и подчеркнем. В начала ряда записываем элемент справа от «жирной» тройки, а затем элемент слева, то есть 4 и 2. После этого дописываем оставшуюся часть последовательности и получаем:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
• 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

На третьей итерации i = 3 выбрасываем третий элемент нижнего ряда, то есть выделенную жирным кеглем пятерку, а ниже запишем соседнее число справа, а затем число слева, то есть 6 и 2. После этого дополним последовательность еще двумя членами: элементами ряда через один от «жирной» пятерки, сначала правое, затем левое, то есть 7 и 4. После этого добавим «остатки» натурального ряда:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
• 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
• 6, 2, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13

На четвертой итерации i = 4 мы выбрасываем четвертый элемент нижнего ряда, то есть выделенную четверку. После чего записываем последовательно правое и левое число от четверки (8 и 7), затем правое и левое число через одно от четверки (9 и 2), затем правое и левое число через два от четверки (10, 6). После чего дописываем остатки и получаем:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
• 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
• 6, 2, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13
• 8, 7, 9, 2, 10, 6, 11, 12, 13

Теперь выпишем в один ряд выделенные числа, которые мы «выбрасывали» при подсчетах. Получим последовательность:

1, 3, 5, 4, 10.

Это и есть начало последовательности Кимберлинга. Повторять цикл можно произвольное количество раз, но с увеличением количества итераций увеличивается и длина исходного ряда, и количество перестановок.

Наш онлайн-калькулятор автоматически строит последовательность Кларка Кимберлинга с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для построения ряда чисел выбранной длины вам понадобится только ввести количество членов в форму калькулятора и получить результат. Не используйте слишком большие значения i, так как это непростая вычислительная задача и для значений больше 200 калькулятору понадобится время.

Заключение

Теория чисел — это чистая, абстрактная математика, которая далеко не всегда находит применение в реальной жизни. Для построения занятного ряда Кимберлинга используйте нашу программу, которая выдаст как промежуточные вычисления, так и конечный результат.