Калькулятор нахождения ранга матрицы

Матрица — это прямоугольная таблица числовых элементов, которые принадлежат некоему множеству. Числовая матрица обладает множеством различных характеристик, некоторые из которых легко рассчитать при помощи данного онлайн-калькулятора.

Определение матрицы

Матрица представляет собой прямоугольную числовую таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Если m = n, то матричный объект становится квадратным, и именно такие объекты обладают множеством интересных свойств и характеристик. Если матрица состоит всего из одного столбика или одной строки, то она называется вектором.

Матрицы — кошмар любого первокурсника технической специальности, ведь это абсолютно новый математический объект. В школьном курсе алгебры матрицы не изучают, но, несмотря на это, мы знакомы с матричным представлением с шестого класса. Вспомните координаты точек на графике. Например, координаты точки A(3, 5) записываются в виде однострочной матрицы. Также матричные объекты используются для развязывания систем линейных уравнений методом Гаусса, но и тут школьники не подразумевают, о каком математическом объекте идет речь.

Изучением матриц и их характеристик занимается линейная алгебра, аппарат которой позволяет оперировать объектами линейной природы. Матричные объекты обладают многими характеристиками, но наш калькулятор рассчитывает три из них.

Детерминант

Определитель или детерминант — это число, которое вычисляется для любой квадратной матрицы. Квадратная матрица — это математический объект, у которого количество рядов и столбцов одинаковы, следовательно:

• квадратная матрица первого порядка содержит один элемент;
• второго — 4 элемента (2 столбца, 2 ряда);
• третьего — 9 элементов (3 столбца, 3 ряда).

Для квадратной матрицы первого порядка детерминант равен единственному элементу данного множества. Квадратная матрица второго порядка выглядит как:

• A = a; б;
• в; д.

В рукописях числа или элементы матрицы не отделяются точками с запятой и записываются подряд, но в электронном варианте для удобства восприятия мы отделим элементы друг от друга знаками пунктуации. Детерминант для A рассчитывается по формуле:

detA = a × д — б × в

Определитель матричного объекта третьего порядка рассчитывается на основании 6 произведений (правило Сарруса), а удлиненная формула Лейбница обобщает оба постулата в единую формулу для определения детерминанта матриц любых размерностей. Это громоздкие и сложные формулы для определения детерминанта, поэтому мы не будем их здесь указывать. Рассмотрим численный пример.

Пусть у нас есть квадратная матрица второго порядка:

• A = 5; 7;
• 2; 6.

Определитель объекта A будет равен:

detA = 5 × 6 — 7 × 2 = 16.

Итак, детерминант — это некое число, характеризующее матричный объект. Основная сфера его применения — это метод расчета ранга матрицы, а также другие операции линейной алгебры. Он используется в методе Крамера для развязывания систем линейных уравнений и для поиска экстремумов функции нескольких переменных. Кроме того, определитель применяется в криптографии для шифрования аффинных блочных шифров или шифровании Хилла.

След матрицы

Пусть у нас есть матрица третьего порядка:

• A = а; б; в;
• г; д; е;
• ж; з; и.

Следом такой матрицы считается сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Основная диагональ квадратного матричного объекта — это элементы набора Aij, где i = j. Обозначение i и j — это номера рядов и столбцов соответственно. Для данной матрицы главной диагональю являются элементы «a» (i = j = 1), «д» (i = j = 2), «и» (i = j = 3). Следом такой матрицы будет сумма элементов главной диагонали:

trA = a + д + и.

Рассмотрим численный пример и вычислим след квадратной матрицы третьего порядка, которая выглядит как:

• A = 1; 2; 4;
• 2; 7; 8;
• 0; 5; 3.

След матричного объекта A будет равен:

trA = 1 + 7 + 3 = 11.

Обычно след применяется в тензорном исчислении, а также для определения детерминанта квадратных матриц.

Ранг матрицы

Рангом матричного объекта называется наибольшее число линейно независимых рядов/столбцов. Линейно зависимые строки/столбцы — это множества чисел, которые выражаются одно через другое. Например, строки (1, 8, 15) и (2, 16, 30) линейно зависимы, так как выражаются одна через другую умножением или делением на 2.

Кроме того, рангом называется наибольший из порядков ненулевых миноров выбранной матрицы. Минор — это определитель такой квадратной матрицы, которая образуется путем вычеркивания ряда и столбца, содержащего элемент, для которого он рассчитывается. Например, у нас есть матрица:

• A = а; б; в;
• г; д; е;
• ж; з; и.

Минор элемента «a» — это минор первого порядка и он рассчитывается как определитель матрицы, оставшейся от вычеркивания ряда и столбца, содержащих «a»:

• B = д; е;
• з; и.

Минор для «a» будет равен детерминанту матрицы B, то есть:

Ma = detB = д × и — е × з

Миноры второго порядка рассчитываются для двух элементов матрицы: для этого опять же вычеркиваются столбцы и строки, содержащие эти элементы. Минор третьего порядка рассчитывается для трех элементов с вычеркиванием столбцов и строк, содержащих их. Тоже самое выполняется и с минорами высших порядков. Таким образом, ранг матрицы определяет наивысший порядок ненулевого минора.

Существует два основных метода определения ранга матрицы:

• метод окаймляющих миноров, в котором требуется поочередно отыскивать ненулевые миноры повышающихся порядков;
• метод элементарных преобразований, в котором производится элементарное преобразование матрицы к ступенчатой форме, после чего ранг определяется как число ненулевых строк образованной матрицы.

Для нулевых матриц, состоящих из одних нулей, ранг также равен нулю. Ранги векторов всегда равны единице. Ранг матрицы не может превышать число ее рядов/столбиков.

Наша программа позволяет задать матрицу любого размера и рассчитать для нее показатели ранга, следа и детерминанта. Важно помнить, что определитель и след рассчитываются только для квадратных матриц размера n × n. Для решения любой задачи на определение ранга вам потребуется выбрать в меню программы размер матрицы, после чего внести в ячейки ее элементы.

Рассмотрим простой числовой пример

Применение калькулятора

Пусть у нас есть матрица:

• A = 1; 2; 3;
• 4; 5; 6;
• 7; 8; 9.

Это квадратная матрица 3 × 3 и мы можем рассчитать для нее след, детерминант и ранг. Выберем в меню размер матрицы и внесем числа в советующие ячейки. В результате получим:

• Ранг матрицы: 2;
• Детерминант матрицы: 0 — следовательно, она вырожденная;
• След матрицы: 15.

Если определитель матричного объекта равен нулю, то она считается вырожденной и обладает множеством свойств и характеристик.

Заключение

Линейная алгебра находит широкое применение во многих научных и производственных областях. Наш калькулятор пригодится студентам, которые проходят курс высшей математики и изучаются линейные объекты. При помощи программы легко проверить свои выкладки и отыскать ошибки в решении.