- {$ row.join('; ') $}
Гармонический треугольник Лейбница — бесконечная таблица гармонических чисел, то есть дробей вида 1/n, где n – натуральное число. Треугольник обладает чудесными свойствами, аналогичными свойствам треугольника Паскаля.
История возникновения
Появление арифметических треугольников связано с открытием таблицы Паскаля — бесконечным расширяющимся набором целых чисел. Треугольник Паскаля обладает рядом уникальных свойств и связывает воедино такие области математики как теория чисел, комбинаторика, арифметика и теория вероятностей. Начало таблицы Паскаля имеет простой вид:
- 1
- 1 1
- 1 2 1
- 1 3 3 1
- 1 4 6 4 1
Это симметричная таблица, в которой каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним справа и слева. При этом таблица имеет граничные ряды: «нулевой проспект» и «нулевую улицу» — ряды чисел, которые вопреки названию состоят из единиц, а не нулей. Несмотря на простоту построения, треугольник Паскаля содержит в себе массу свойств чисел и пока еще неразгаданных тайн, и по праву считается одной из самых элегантных математических схем.
Гармонический треугольник был разработан немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1673 году на основе треугольника Паскаля. Вместо натуральных чисел, составляющих вторую диагональ таблицы, Лейбниц взял гармонический ряд дробей. Особенность гармонического ряда состоит в том, что он не стремится к определенному числу и считается бесконечным. Появление гармонического треугольника сыграло важную роль в разработке методов интегрального и дифференциального исчисления.
Особенности треугольника
Гармонический треугольник Лейбница обладает свойствами, аналогичными особенностям треугольника Паскаля. Первая диагональ таблицы, так называемый «нулевой проспект», представляет собой ряд гармонических чисел вида 1/n, где n – натуральные числа. Первые строки таблицы выглядят как:
- 1
- 1/2 1/2
- 1/3 1/6 1/3
- 1/4 1/12 1/12 1/4
Члены рядов в гармонической таблице образуются по принципу сложения дробей, стоящих под ними, а не над ними, как это происходит в треугольнике Паскаля. Например:
- 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3
- 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6
- 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
Очевидно, что в данной ситуации треугольник строится снизу вверх, что не очень удобно. Построить таблицу можно и сверху вниз, однако дроби для этого потребуется вычитать по диагоналям:
- 1 − 1/2 = 1/2
- 1/2 − 1/3 = 1/6
- 1/2 − 1/6 = 1/3
И так далее. При этом гармонический треугольник Лейбница обладает уникальным свойством. Если в треугольнике Паскаля каждое число равняется конечной сумме всех чисел выше и слева от него, то в гармонической таблице каждое число образуется как бесконечная сумма дробей справа и ниже от искомого.
Как и таблица Паскаля, гармонический треугольник Лейбница связан со многими разделами математики — современной геометрией, алгеброй, дифференциальным и интегральным исчислением. Несмотря на то, что таблица Лейбница не получила столь широкой известности как ее предшественница, они является точно таким же примером тяготения математических объектов к закономерности и гармонии.
Построение таблицы
Гармонический треугольник Лейбница — это бесконечная таблица дробей. При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете построить таблицу выбранной размерности, однако не рекомендуется выбирать слишком малые числа 1/n (n > 200). Калькулятор верно рассчитывает значения, однако столь малые дроби некорректно отображаются в окне браузера. Для построения таблицы достаточно указать количество строк, после чего вы увидите мгновенный результат.
Заключение
Таблица Лейбница — элегантная схема записи гармонических чисел. Она не получила такой популярности как треугольник Паскаля, но используется математиками в самых разных научных областях. Используйте наш калькулятор для построения гармонических треугольников любого размера.
